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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和3年度 学科Ⅳ（構造） 問3

問題・正答・学習用解説

問題

図のようなラーメンにおいて、Ａ点に鉛直荷重P及びＢ点に水平荷重αP\displaystyle \alpha Pが作用したとき、Ａ点における曲げモーメントが0になるためのα\displaystyle \alphaの値として、正しいものは次のうちどれか。ただし、全ての部材は全長にわたって等質等断面の弾性部材とし、自重は無視する。問3の図1

選択肢

  1. （1）
    α=12\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}
  2. （2）
    α=1\displaystyle \alpha=1
  3. （3）
    α=32\displaystyle \alpha=\frac{3}{2}
  4. （4）
    α=2\displaystyle \alpha=2

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

右支点の鉛直反力を求め、Aの右側部分のモーメントを考えると、α=1\displaystyle \alpha=1です。左支点は水平・鉛直方向を支えるピン、右支点は鉛直方向だけを支えるローラーです。全幅は2l\displaystyle 2l、梁の高さはl\displaystyle lで、Pは中央Aに下向き、αP\displaystyle \alpha Pは右上Bに左向きに作用します。
左支点回りの反時計回りを正にすると、右の鉛直反力VR\displaystyle V_Rによる2lVR\displaystyle 2lV_R、左向き水平荷重による+αPl\displaystyle +\alpha Pl、下向き荷重による−Pl\displaystyle -Plがつり合います。よって2lVR+αPl−Pl=0\displaystyle 2lV_R+\alpha Pl-Pl=0、VR=P(1−α)2\displaystyle V_R=\frac{P(1-\alpha)}{2}です。
次にAで切り、右側の梁と柱だけを取り出します。AとBは同じ高さなので、Bの水平力の作用線はAを通り、A回りのモーメントは0です。右支点の鉛直反力には水平距離l\displaystyle lの腕があるため、Aの断面曲げの大きさは∣VRl∣\displaystyle |V_Rl|となります。これを0にするにはVR=0\displaystyle V_R=0、すなわち1−α=0\displaystyle 1-\alpha=0が必要です。
α=1\displaystyle \alpha=1では左支点の鉛直反力がP\displaystyle P、水平反力も右向きP\displaystyle Pとなり、全体の力もつり合います。Aに荷重が直接作用していても、その点の曲げが必ず0以外になるわけではありません。力の作用線と距離を分けて判断します。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）α=12\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}を全体のつり合いへ入れると、次のとおりです。
VR=P(1−12)2=P4\begin{aligned}V_R&=\frac{P(1-\frac{1}{2})}{2}\\[4pt]&=\frac{P}{4}\end{aligned}
Aから右支点までの水平距離はl\displaystyle lなので、Aには大きさPl4\displaystyle \frac{Pl}{4}の曲げモーメントが必要となり、0にはなりません。水平荷重は鉛直荷重の転倒モーメントを一部だけ打ち消しています。荷重の比を半分にすれば中央の曲げが消えるという関係ではなく、両荷重の左支点回りの腕がともにl\displaystyle lであることを使ってつり合いを求めます。

選択肢2

（2）α=1\displaystyle \alpha=1なら、左支点回りで水平荷重のαPl\displaystyle \alpha Plと鉛直荷重のPl\displaystyle Plがちょうど打ち消し合い、右の鉛直反力は0になります。Aの右側を取り出したとき、Bの水平力はAと同じ高さにあり、A回りの曲げを生じません。このためAの断面モーメントも0となり、条件を満たします。右側に力が全くないという意味ではなく、梁には水平荷重を伝える軸力があり得ます。曲げ0と、全ての断面力0を区別します。

選択肢3

（3）α=32\displaystyle \alpha=\frac{3}{2}では
VR=P(1−32)2=−P4\begin{aligned}V_R&=\frac{P(1-\frac{3}{2})}{2}\\[4pt]&=\frac{-P}{4}\end{aligned}
となり、Aには大きさPl4\displaystyle \frac{Pl}{4}の曲げが残ります。負の反力は、上向きを正として置いた反力が下向きになることを表し、0ではありません。水平荷重の転倒作用が必要量を超えた状態です。実物のローラーが下向き反力を伝えられなければ浮上がりの問題もありますが、この問題の条件を満たすかの判定では、まずAの曲げが0になるかをつり合いで確認します。

選択肢4

（4）α=2\displaystyle \alpha=2を代入すると、次のとおりです。
VR=P(1−2)2=−P2\begin{aligned}V_R&=\frac{P(1-2)}{2}\\[4pt]&=\frac{-P}{2}\end{aligned}
Aに対する反力の腕l\displaystyle lにより、大きさPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}の曲げが必要となり、0にはなりません。全幅が2l\displaystyle 2lだから水平荷重を鉛直荷重の2倍にするという判断は不適切です。水平荷重のモーメントの腕は高さl\displaystyle l、鉛直荷重の腕は左支点から中央までのl\displaystyle lです。モーメントには、荷重と直角方向の最短距離を使うことを確認します。

周辺知識

平面の静力学では、水平方向の力、鉛直方向の力、任意の点回りのモーメントの三つのつり合いを使います。モーメントの腕は部材に沿った距離ではなく、基準点から力の作用線までの直角距離です。水平力なら高さの差、鉛直力なら水平距離で計算します。
断面力を求めるときは、全体の反力を求めてから目的の場所で切り、左右のうち力が少ない側を取り出すと計算しやすくなります。本問のA右側では、水平力の作用線がAを通り、右の支点には鉛直反力しかないので、曲げを0にする条件が簡単に得られます。
ピン支点やローラー支点は支え方を表しますが、Aは支点でもヒンジでもありません。荷重の組合せによって、その断面の曲げが偶然0になる条件を求めています。断面の曲げ0、せん断0、軸力0はそれぞれ別の条件です。どの力を消す問題かを整理し、必要なつり合い式を立てることが大切です。
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