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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和3年度 学科Ⅳ（構造） 問2

問題・正答・学習用解説

問題

図のような梁Ａ、梁Ｂ及び梁Ｃにそれぞれ荷重Pが作用している場合、梁Ａ、梁Ｂ及び梁Ｃにおける応力、たわみ等の大きさの比（梁Ａ：梁Ｂ：梁Ｃ）として、最も不適当なものは、次のうちどれか。ただし、全ての梁は同一断面で、全長にわたって等質等断面の弾性部材とし、自重は無視する。問2の図1
応力、たわみ等梁Ａ：梁Ｂ：梁Ｃ
1．鉛直方向の支点反力1：1：1
2．最大曲げモーメント2：1：2
3．最大せん断力1：1：1
4．荷重点のたわみ2：1：2

選択肢

  1. （1）
    鉛直方向の支点反力：1：1：1
  2. （2）
    最大曲げモーメント：2：1：2
  3. （3）
    最大せん断力：1：1：1
  4. （4）
    荷重点のたわみ：2：1：2

正答と解説

正答：（4）

正答の考え方

荷重点のたわみの比は4:1:4\displaystyle 4:1:4で、（4）の2:1:2\displaystyle 2:1:2が誤りです。Aは両端で回転できる単純梁、Bは両端の回転を止める固定梁、Cは中央に曲げモーメントを伝えないヒンジを持つ両端固定梁です。いずれも全長は2l\displaystyle 2lですが、曲がり方が異なります。
対称性から各支点の鉛直反力はP2\displaystyle \frac{P}{2}です。Aの中央最大曲げは、次のとおりです。
(P2)l=Pl2(\frac{P}{2})l=\frac{Pl}{2}
Bは端部にPl4\displaystyle \frac{Pl}{4}の逆向きの曲げが生じ、中央もPl4\displaystyle \frac{Pl}{4}となります。Cは中央ヒンジで曲げ0となるため、左右それぞれが長さl\displaystyle lで先端にP2\displaystyle \frac{P}{2}を受ける片持ち梁として働き、固定端の曲げはPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}です。
曲げたわみの式から、Aは
P(2l)348EI=Pl36EI\frac{P(2l)^3}{48EI}=\frac{Pl^3}{6EI}
、Bは
P(2l)3192EI=Pl324EI\frac{P(2l)^3}{192EI}=\frac{Pl^3}{24EI}
Cは左右の先端が同じ高さまで下がり、各半分の片持ち梁の式で
(P2)l33EI=Pl36EI\frac{(\frac{P}{2})l^3}{3EI}=\frac{Pl^3}{6EI}
共通のPl324EI\displaystyle \frac{Pl^3}{24EI}で割ると4:1:4\displaystyle 4:1:4になります。最大曲げだけでなく、梁全体の曲率の分布と支持条件がたわみを決めるため、曲げの比をそのまま用いてはいけません。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）全ての梁で荷重と形状が左右対称なので、鉛直荷重P\displaystyle Pは左右の支点へ半分ずつ伝わり、各反力はP2\displaystyle \frac{P}{2}です。固定端には曲げモーメントも生じますが、それは反力が鉛直にP2\displaystyle \frac{P}{2}ずつ分かれることとは別です。従って反力の大きさの比1:1:1\displaystyle 1:1:1は適切です。なお両支点の反力の合計ならどの梁もP\displaystyle Pであり、その比較でも比は同じになります。支持方法が違うと全ての応力が必ず違うわけではないことを確認します。

選択肢2

（2）Aは中央でPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}、Bは両固定端と中央で絶対値Pl4\displaystyle \frac{Pl}{4}、Cは固定端でPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}が最大です。このため最大曲げの比は2:1:2\displaystyle 2:1:2で適切です。Cは中央の白丸がヒンジなのでそこで曲げを伝えず、最大値は中央ではありません。Bの固定端モーメントは、Aなら生じる端の回転を抑えるために発生します。最大値を比較するときは、同じ位置の曲げだけを比べず、それぞれの梁でどこに最大が生じるかも確認します。

選択肢3

（3）各支点から中央の荷重点までには他の鉛直荷重がないため、各半分のせん断力の大きさは反力と同じP2\displaystyle \frac{P}{2}です。中央で荷重P\displaystyle Pを受けると、せん断力の符号が切り替わります。固定端の曲げモーメントや中央ヒンジは曲げの分布を変えますが、この鉛直力のつり合いによるせん断の大きさは変えません。よって最大せん断力の比1:1:1\displaystyle 1:1:1は適切です。曲げとせん断は関連しますが、最大値の比が常に一致するわけではありません。

選択肢4

（4）最大曲げの比2:1:2\displaystyle 2:1:2をたわみに使った点が誤りです。AとCのたわみはいずれもPl36EI\displaystyle \frac{Pl^3}{6EI}で、BはPl324EI\displaystyle \frac{Pl^3}{24EI}なので比は4:1:4\displaystyle 4:1:4です。Bでは端部の回転が止まり、中央付近と端部付近で曲げの符号も変わるため、全体としてたわみを強く抑えます。Cは中央ヒンジで左右の傾きが異なっても接続でき、二つの片持ち梁の先端変位として求めます。支持条件と変形の形を確認して式を選ぶ必要があります。

周辺知識

梁の曲げモーメントをEI\displaystyle EIで割ると、局部的な曲がり具合である曲率が得られます。E\displaystyle Eは材料のヤング係数、I\displaystyle Iは断面二次モーメントです。曲率を長さに沿って積み重ねると傾きの変化となり、その傾きをさらに積み重ねるとたわみになります。
このため最大モーメントが同じでも、三角形に分布するか、符号を変えながら分布するかでたわみは違います。支持点で回転を許すか止めるか、途中のヒンジで傾きが折れ曲がれるかも重要です。ヒンジは鉛直力を伝えられますが、曲げモーメントを伝えない接続です。
代表式の長さには、単純梁・固定梁なら両支点間の全長、片持ち梁なら固定端から自由端までを入れます。本問ではAとBが2l\displaystyle 2l、Cの各半分がl\displaystyle lです。たわみは長さの3乗に比例する式なので、この区別を誤ると8倍の差が生じます。公式を使う前に、支点記号、荷重の分担、式の長さが図のどの範囲かを確認します。
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