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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和7年度 学科Ⅳ（構造） 問3

問題・正答・学習用解説

問題

図のようなラーメンに作用する水平荷重Pを増大させたとき、ラーメンの崩壊荷重の値として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、柱、梁の全塑性モーメントの値は図中に示す値とする。問3の図1

選択肢

  1. （1）
    100kN
  2. （2）
    200kN
  3. （3）
    300kN
  4. （4）
    450kN

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

ラーメンは柱と梁を曲がり角で固くつないだ骨組です。図のMp\displaystyle M_pは、部材が曲げに対して限界まで抵抗できる「全塑性モーメント」で、単位kN⋅m\displaystyle \mathrm{kN\cdot m}は力と距離の積です。その限界に達した部分を、抵抗を保ちつつ回る塑性ヒンジとして考えます。
水平荷重で四角形が平行四辺形のように傾くとき、四隅で回転が必要です。左上では柱600より梁200、左下では柱600より梁400が先に限界に達します。右上・右下では、どちらも梁より弱い右柱の100を使います。支持点の三角形は地盤との回転を許しますが、そこで柱と梁が相互に自由に折れるわけではないことにも注意します。
柱が小さな角度θ\displaystyle \thetaだけ傾くと、上部の水平移動は高さ4 m\displaystyle 4\,\mathrm{m}を掛けた4θ\displaystyle 4\thetaです。外力がする仕事はP⋅4θ\displaystyle P\cdot4\theta、四つのヒンジが抵抗する仕事は
(200+400+100+100)θ=800θ(200+400+100+100)\theta=800\theta
崩壊時には両者が等しいので、4Pθ=800θ\displaystyle 4P\theta=800\thetaからP=200 kN\displaystyle P=200\,\mathrm{kN}となります。左柱の600を両端へそのまま入れず、各隅で先に曲げ限界へ達する部材を選ぶことが計算の核心です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）100 kN\displaystyle 100\,\mathrm{kN}では、上部を4θ\displaystyle 4\theta動かす外力仕事は400θ kN⋅m\displaystyle 400\theta\,\mathrm{kN\cdot m}です。しかし、この水平移動の機構で必要な四隅の回転には800θ kN⋅m\displaystyle 800\theta\,\mathrm{kN\cdot m}の抵抗があります。右柱の100だけを見て荷重も100とすることはできません。モーメントと水平力は単位も異なり、左側の上梁・下梁が抵抗する分も必要です。右柱が弱いことと、右柱だけで骨組全体の崩壊荷重が決まることは同じではありません。

選択肢2

（2）200 kN\displaystyle 200\,\mathrm{kN}なら、200×4θ=800θ\displaystyle 200\times4\theta=800\thetaとなって、四隅の塑性回転の抵抗と外力仕事が一致します。左上200、左下400、右上100、右下100という選び方は、どの接合点でも弱い側の部材が先に曲がる条件を満たしています。各ヒンジが回れることで、上部が横へ動く連続した変形も作れます。単に数値を足しただけでなく、図の移動と回転を結び付けられるため、この荷重が正解です。

選択肢3

（3）300 kN\displaystyle 300\,\mathrm{kN}では外力仕事が1,200θ\displaystyle 1,200\thetaとなりますが、その大きさまで待つ前に200 kN\displaystyle 200\,\mathrm{kN}で四隅が回る機構が成立します。例えば上梁・下梁の全塑性モーメントを左右両端へ無条件に使うと、右柱の100という小さな限界を見落とします。接合部で強い部材の数値を採用しても、隣の弱い部材まで強くなるわけではありません。崩壊機構の計算では、接続部材の耐力と回転の組合せを同時に確認します。

選択肢4

（4）450 kN\displaystyle 450\,\mathrm{kN}まで水平力を増やせるとするには、450×4θ=1,800θ\displaystyle 450\times4\theta=1,800\thetaもの内部抵抗が必要です。図の機構では800θ\displaystyle 800\thetaしかなく、この選択肢の荷重へ達する前に大きく変形します。全ての部材のMp\displaystyle M_pを足す方法では、同じ部材を何回回転させるのか、実際にどの箇所が限界へ達するのかが不明です。柱・梁の値の合計ではなく、
塑性ヒンジの値×その相対回転角\begin{aligned}&\text{塑性ヒンジの値}\\&\quad\times\text{その相対回転角}\end{aligned}
の合計を使います。

周辺知識

針金を少し曲げて戻すと元に戻る範囲が弾性、強く折って戻らなくなった変形が塑性です。実際の鋼の梁は曲げの大きい側から徐々に降伏し、断面全体が曲げに抵抗する限界に達すると、曲げモーメントがあまり増えなくても回転が進みます。これを一つの点へ集めて表したものが塑性ヒンジです。普通のピンのように抵抗が0の接合部とは異なり、Mp\displaystyle M_pという抵抗が残ります。
力学の仕事は「力×力の方向の移動距離\displaystyle \text{力}\times\text{力の方向の移動距離}」、回転させる仕事は「モーメント×回転角\displaystyle \text{モーメント}\times\text{回転角}」です。θ\displaystyle \thetaを小さな角度としてラジアンで表すと、柱頭の移動は高さ×θ\displaystyle \text{高さ}\times\thetaで近似できます。本問では同じθ\displaystyle \thetaが両辺から消えるため、実際に何cm\displaystyle \mathrm{cm}動いたかを決めなくても崩壊荷重を求められます。
塑性ヒンジが一つ発生しただけで、必ず骨組全体が崩壊するわけではありません。周囲の部材が力を負担し直し、さらにヒンジができて連続して動ける形になることが必要です。反対に、考えた機構が一つ成立したなら、それより大きな荷重まで弾性のまま耐えると扱うこともできません。曲げ耐力と、変形できる仕組みの両方を見ます。
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