資格ナビ一級建築士の演習へ

学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和7年度 学科Ⅳ（構造） 問2

問題・正答・学習用解説

問題

図のような集中荷重Pを受ける梁Ａ及びＢの荷重点に生じるたわみδAとδBとの比として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、梁Ａ及びＢは同一断面で、全長にわたって等質等断面の弾性部材とし、自重は無視する。問2の図1
δA\displaystyle \delta_AδB\displaystyle \delta_B
1．11
2．12
3．13
4．14

選択肢

  1. （1）
    1：1
  2. （2）
    1：2
  3. （3）
    1：3
  4. （4）
    1：4

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

たわみδ\displaystyle \deltaは、荷重を受けた場所が元の位置から上下にどれだけ動くかという距離です。梁Aは左端の位置と傾きを壁で固定した片持ち梁、梁Bは左端と中央で上下の位置を支え、中央から右へlだけ張り出した梁です。同じP、同じ断面でも、梁Bの中央支点は回転できるため、その傾きも右端の変位に加わります。
まず梁Bの支点反力を求めます。左端回りの回転のつり合いから、中央の上向き反力RについてRl−P(2l)=0\displaystyle Rl-P(2l)=0、したがってR=2P\displaystyle R=2Pです。鉛直力のつり合いより左端反力はP−2P=−P\displaystyle P-2P=-P、つまり下向きです。そのため、曲げモーメントの大きさは左端の0から中央のPlへ増え、右端の0へ減る二つの三角形になります。梁Aでは0からPlまで変わる区間が一つです。
同じ曲げ剛性EIの梁に同じ位置・向きのPを加えた場合、荷重点のたわみは
δ=∫M2PEI dx\delta=\int\frac{M^2}{PEI}\,dx
で求められます。Eは材料の変形しにくさ、Iは断面形による曲がりにくさです。三角形の一区間ではM=Px\displaystyle M=Pxなので、
∫0l(Px)2PEI dx=Pl33EI\int_0^l\frac{(Px)^2}{PEI}\,dx=\frac{Pl^3}{3EI}
Aは一区間、Bは同じ寄与が二区間で、δA=Pl33EI\displaystyle \delta_A=\frac{Pl^3}{3EI}、δB=2Pl33EI\displaystyle \delta_B=\frac{2Pl^3}{3EI}。したがって比は1:2\displaystyle 1:2、選択肢2です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）1：1では、梁Bの支点間にある左半分の曲がりを数えていません。右側の張出し長さはどちらもlですが、Aの固定端は傾き0、Bの中央支点では傾き0とは限りません。Bでは左半分が曲がることで中央の断面が右下がりに傾き、その先の右端がさらに下がります。張出し自身の曲がりによる変位に、この支点の回転による変位が重なるため、右側の長さが同じだけでは同じたわみになりません。

選択肢2

（2）1:2\displaystyle 1:2は、梁の各部分が荷重点の変位にどれだけ寄与するかを数えた結果です。Aの曲げモーメント図は底辺l、高さPlの三角形が一つ。Bは支点間と張出し部分に同じ大きさの三角形が一つずつあります。たわみの計算ではモーメントの二乗を全長にわたって集計するため、三角形の向きが逆でも寄与は等しく、BはAの2倍です。P、E、I、lを同じ条件で比較している点も確認できます。

選択肢3

（3）1：3という比にするには、Bのたわみへの寄与がAの3倍必要ですが、そのような区間は図にありません。Bの中央反力が2Pでも、それを右端荷重Pへ足して『3P相当』とはできません。反力は梁を支える位置に作用し、荷重とともに各区間の曲げモーメントを決める力です。反力を含めてつり合いを解いた後のモーメント図は二つの同じ三角形であり、寄与は2倍にとどまります。

選択肢4

（4）1：4は、Bの全長が2lだから変位が4倍だと考えても導けません。片持ち梁の先端たわみは長さの三乗に比例しますが、この公式は支え方が同じときに使える関係です。Bの左端は固定端ではなく、途中にもう一つ支点があるため、長さ2lの片持ち梁へ置き換えること自体ができません。長さだけの倍率ではなく、反力を求め、各区間の曲げと中央支点の回転を含めて比較する必要があります。

周辺知識

定規の一端を机へ強く押さえて曲げると、押さえた場所の角度は変わりません。一方、二つの支持点へ定規を載せて端を押すと、支持点の高さは同じでも定規はその場所で傾きます。『上下へ動かない』ことと『回転しない』ことは別の条件です。本問のAとBの違いはここにあります。左端に下向き反力が出るBの支持条件は、そこが浮き上がらないように保持されている理想化です。単に上に載せただけなら、この反力を負担できません。
解説の積分は、梁を短い区間へ分け、その一つ一つの曲がりの影響を足し合わせる操作です。弾性梁に蓄えられる変形のエネルギーは
U=∫M22EI dxU=\int\frac{M^2}{2EI}\,dx
荷重を0からPまでゆっくり増やすと外力の仕事がPδ2\displaystyle \frac{P\delta}{2}になるため、この二つを等しくして使用した式が得られます。積分の
∫0lx2dx=l33\int_0^l x^2dx=\frac{l^3}{3}
が、たわみに長さの三乗が現れる理由です。
PをN\displaystyle \mathrm{N}、lをmm\displaystyle \mathrm{mm}、EをN/mm2\displaystyle \mathrm{N/mm^2}、Iをmm4\displaystyle \mathrm{mm^4}でそろえると、Pl3EI\displaystyle \frac{Pl^3}{EI}の単位はmm\displaystyle \mathrm{mm}になります。比を求める本問ではこれらが約分されますが、支え方や荷重位置が違う問題では、公式に入れる長さと境界条件を先に確かめます。
この年度・科目を演習する問題一覧に戻る