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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和7年度 学科Ⅳ（構造） 問1

問題・正答・学習用解説

問題

図－１のような底部で固定された矩形断面材の頂部において、図心Ｇ点からeだけ離れた点に鉛直荷重Pが作用している。底部（a－a断面）における垂直応力度分布が図－２のようになる場合、距離eとして、正しいものは、次のうちどれか。ただし、BやDに対してhは十分に大きく、矩形断面材は等質等断面とし、自重は無視する。問1の図1

選択肢

  1. （1）
    D12\displaystyle \frac{D}{12}
  2. （2）
    D212B\displaystyle \frac{D^2}{12B}
  3. （3）
    D6\displaystyle \frac{D}{6}
  4. （4）
    D26B\displaystyle \frac{D^2}{6B}

正答と解説

正答：（1）

正答の考え方

荷重P\displaystyle Pは柱を押す力、e\displaystyle eは断面の中心G\displaystyle Gから荷重までの横のずれです。応力度は断面の単位面積当たりの力で、図のσ\displaystyle \sigmaは圧縮応力度の基準値です。図－2では左端がσ\displaystyle \sigma、右端が3σ\displaystyle 3\sigmaなので、単に全体を押す作用に、右側を強く押す曲げの作用が加わっています。
中心を押す力P\displaystyle Pが作る一様な応力度は、両端の平均です。
3σ+σ2=2σ\frac{3\sigma+\sigma}{2}=2\sigma
一方、曲げによって平均から増減した分は、次のようになります。
3σ−σ2=σ\frac{3\sigma-\sigma}{2}=\sigma
この二つを分けることが出発点です。断面積をA\displaystyle A、曲げに抵抗する断面の形を表す断面係数をZ\displaystyle Zとすると、次の二つの式が成り立ちます。
PA=2σPeZ=σ\begin{aligned}\frac{P}{A}&=2\sigma\\[6pt]\frac{Pe}{Z}&=\sigma\end{aligned}
Pe\displaystyle Peは荷重のずれによって生じる曲げモーメントです。図ではD\displaystyle D方向に応力度が変わるため、次の断面積と断面係数を用います。
A=BDZ=BD26\begin{aligned}A&=BD\\[4pt]Z&=\frac{BD^2}{6}\end{aligned}
曲げ応力度の式を一様な応力度の式で割ると、次の関係になります。
PeZPA=σ2σeAZ=12\begin{aligned}\frac{\frac{Pe}{Z}}{\frac{P}{A}}&=\frac{\sigma}{2\sigma}\\[6pt]\frac{eA}{Z}&=\frac{1}{2}\end{aligned}
よって、求める偏心距離は次のとおりです。
e=Z2A=BD262BD=D12\begin{aligned}e&=\frac{Z}{2A}\\[6pt]&=\frac{\frac{BD^2}{6}}{2BD}\\[6pt]&=\frac{D}{12}\end{aligned}
幅B\displaystyle Bと荷重P\displaystyle Pが消え、D\displaystyle Dの12分の1という距離が得られるので、選択肢1が正解です。例えばD\displaystyle Dが120 mm\displaystyle 120\,\mathrm{mm}ならe\displaystyle eは10 mm\displaystyle 10\,\mathrm{mm}となり、右側の圧縮が左側の3倍になる荷重位置を表します。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）D12\displaystyle \frac{D}{12}で原本の分布を再現できます。これを曲げ応力度の式へ戻すと、次のようになります。
PeZ=P(D12)BD26=P2BD\begin{aligned}\frac{Pe}{Z}&=\frac{P\left(\frac{D}{12}\right)}{\frac{BD^2}{6}}\\[6pt]&=\frac{P}{2BD}\end{aligned}
一様な軸力応力度PBD\displaystyle \frac{P}{BD}の半分だけが左右で増減します。したがって左端と右端の応力度は、それぞれ次のとおりです。
左端:P2BD右端:3P2BD\begin{aligned}\text{左端}:\quad&\frac{P}{2BD}\\[6pt]\text{右端}:\quad&\frac{3P}{2BD}\end{aligned}
両端の比は図のσ:3σ\displaystyle \sigma:3\sigmaと一致します。式を求めたあとに両端の比へ戻して確かめると、符号や2の係数の取り違えも発見できます。

選択肢2

（2）D212B\displaystyle \frac{D^2}{12B}は、D方向の曲げに用いる断面係数を取り違えた形です。本図では断面の左右で圧縮応力度が変わるため、距離の二乗としてZに入るのはDであり、Aで割った後にはDだけが残ります。Dを保ったまま奥行きBだけを2倍にしても、両端の応力度を同じ比にする荷重位置は変わりません。この選択肢ではeが半分になってしまいます。B=D\displaystyle B=Dの特殊な断面で数値が一致しても、一般の矩形には使えません。

選択肢3

（3）D6\displaystyle \frac{D}{6}を代入すると、
PeZ=PBD\frac{Pe}{Z}=\frac{P}{BD}
となり、曲げによる増減が軸力による一様な圧縮と同じ大きさになります。その結果、一方の端では圧縮がちょうど打ち消されて0、他方では2PBD\displaystyle \frac{2P}{BD}になります。これは断面の全域が圧縮になる限界の荷重位置で、応力度分布は三角形です。原本は弱い側にもσ\displaystyle \sigmaの圧縮が残る台形なので、そこまで大きい偏心距離ではありません。

選択肢4

（4）D26B\displaystyle \frac{D^2}{6B}には、曲げの向きを決めるDと、それに直角な幅Bの扱いの誤りに加え、両端の平均と差から得る12\displaystyle \frac{1}{2}が反映されていません。距離の単位になることだけでは正しさを判定できません。断面係数と断面積を正しく組み合わせれば
e=BD262BDe=\frac{\frac{BD^2}{6}}{2BD}
であり、分母の2もBの約分も必要です。たまたま特定の縦横比で一致する値を、図の条件全体に成り立つ解答にはできません。

周辺知識

机の中央を真上から押す場合と、端の近くを押す場合を比べると、後者では机を傾ける作用も生まれます。この『押す作用』と『回す作用』を分けるのが、偏心荷重を軸力P\displaystyle Pと曲げモーメントPe\displaystyle Peへ置き換える考え方です。力を勝手に移動させるのではなく、移動で失われる回転作用をPe\displaystyle Peとして補っています。
矩形の断面二次モーメントは、次の式で表されます。
I=BD312I=\frac{BD^3}{12}
断面の中心から遠い部分ほど曲げに役立つことを、面積と距離の二乗で集計した値で、単位はmm4\displaystyle \mathrm{mm}^4などになります。端の応力度を求めるときは、中心から端までの距離D2\displaystyle \frac{D}{2}で割って断面係数Z\displaystyle Zを求めます。
Z=ID2=BD26\begin{aligned}Z&=\frac{I}{\frac{D}{2}}\\[6pt]&=\frac{BD^2}{6}\end{aligned}
Z\displaystyle Zの単位はmm3\displaystyle \mathrm{mm}^3なので、N⋅mm\displaystyle \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}で表したモーメントをZ\displaystyle Zで割ると、応力度の単位になります。
N⋅mm/mm3=N/mm2\mathrm{N\cdot mm/mm^3}=\mathrm{N/mm^2}
圧縮だけにできる偏心距離の限界は矩形ではD6\displaystyle \frac{D}{6}で、この範囲を断面の核と呼びます。本問のD12\displaystyle \frac{D}{12}はその内側です。ただし、この計算は図のような軸力と曲げの応力度分布を扱うもので、細長い柱の座屈や、変形した後に荷重のずれが増える影響まで自動的に確認したことにはなりません。
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