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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和6年度 学科Ⅳ（構造） 問3

問題・正答・学習用解説

問題

図のようなラーメンに荷重6Pが作用したときの曲げモーメント図として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、全ての部材の曲げ剛性はEIとし、自重は無視する。また、図のＡ点は自由端、Ｂ点は剛接合とし、曲げモーメントは材の引張側に描くものとする。問3の図1

選択肢

  1. （1）
    図1選択肢1の図
  2. （2）
    図2選択肢2の図
  3. （3）
    図3選択肢3の図
  4. （4）
    図4選択肢4の図

正答と解説

正答：（4）

正答の考え方

選択肢4の曲げモーメント図が正しい図です。曲げモーメントは部材を曲げようとする作用で、ここでは力P\displaystyle Pと長さl\displaystyle lの積Pl\displaystyle Plを単位に比較します。右の自由端Aではモーメントは0。張り出しBAの長さはl\displaystyle lなので、荷重6P\displaystyle 6PによりBには6Pl\displaystyle 6Plが作用します。まず、この右側の三角形の図は四つとも同じです。
次に、Bで左の梁と下の柱がその6Pl\displaystyle 6Plを分担します。Bは剛接合なので両者の端部は同じ角度だけ回ります。反対側が固定された部材の、端部を回すことへの抵抗は4EIL\displaystyle \frac{4EI}{L}。左の梁は長さ2l\displaystyle 2lで2EIl\displaystyle \frac{2EI}{l}、柱は長さl\displaystyle lで4EIl\displaystyle \frac{4EI}{l}となり、分担比は1:2\displaystyle 1:2です。したがってBで左梁に2Pl\displaystyle 2Pl、柱に4Pl\displaystyle 4Plが生じます。
さらに、遠い側の固定端には、B側の半分の大きさのモーメントが生じるため、左固定端はPl\displaystyle Pl、柱脚は2Pl\displaystyle 2Plです。途中に分布荷重がない各区間ではモーメントが直線的に変わり、図では引張りが生じる側に描きます。Bの分担が2Pl\displaystyle 2Plと4Pl\displaystyle 4Plで、遠端がPl\displaystyle Plと2Pl\displaystyle 2Plになっているのは4です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）Bでの分担が左梁4Pl\displaystyle 4Pl、柱2Pl\displaystyle 2Plと逆です。同じEI\displaystyle EIでも、左梁は柱の2倍の長さなので、Bの回転を止める抵抗は柱の半分になります。短い柱が多く負担する必要があります。また、左固定端4Pl\displaystyle 4Plと柱脚2Pl\displaystyle 2Plは、それぞれB側と同じ大きさで描かれていますが、今回の端部回転による遠端の値はB側の半分です。荷重による6Pl\displaystyle 6Plが合計で保たれていても、変形条件までは満たしていません。

選択肢2

（2）左固定端が2Pl\displaystyle 2Pl、柱脚がPl\displaystyle Plなので、遠端へ半分伝わる関係だけは各部材内で成り立っています。しかし、その元になるBでの分担が左梁4Pl\displaystyle 4Pl、柱2Pl\displaystyle 2Plで逆です。柱の回転に対する硬さは左梁の2倍であり、同じ角度回転するなら柱のモーメントも2倍でなければなりません。遠端と近端の比が合うことと、接合部で複数の部材が正しく分担することは別々に確認する必要があります。

選択肢3

（3）Bで左梁2Pl\displaystyle 2Pl、柱4Pl\displaystyle 4Plと分けている点は正しい図です。一方、左固定端2Pl\displaystyle 2Pl、柱脚4Pl\displaystyle 4Plは大きすぎます。反対側を固定した部材の一端だけが回る場合、その固定端に生じるモーメントの大きさは回転端の半分です。よって遠端はそれぞれPl\displaystyle Pl、2Pl\displaystyle 2Plになります。固定端という言葉は「モーメントがどこでも同じ」という意味ではなく、その場所の回転角が0に保たれるという意味です。

選択肢4

（4）張り出しによるBの6Pl\displaystyle 6Pl、左梁と柱への2Pl:4Pl=1:2\displaystyle 2Pl:4Pl=1:2の分配、固定端のPl\displaystyle Plと2Pl\displaystyle 2Plの三つがすべて一致します。図の直線が部材を横切る点は、曲げモーメントが0となり、引張側が切り替わる位置です。部材ごとに端部の値と引張側を確認すれば、図全体の形だけを丸暗記する必要はありません。支点や荷重の位置が変わると、同じ比をそのまま使えないことにも注意します。

周辺知識

ラーメンは、柱と梁を、接合角度が変わらないようにつないだ骨組です。接合部Bがわずかに回ると、そこに集まる部材は一緒に端部を回されます。部材の長さや曲げ剛性が違えば、同じ角度を回すのに必要なモーメントも違います。この「同じ変形に対する力の違い」が、モーメントの分配を決めます。
反対側を固定し、部材の両端の横方向の相対移動を考えない場合、回転する側のモーメントは4EIθL\displaystyle \frac{4EI\theta}{L}、固定側の大きさは2EIθL\displaystyle \frac{2EI\theta}{L}です。θ\displaystyle \thetaは回転角で、両式を比べれば遠端が半分となる理由が分かります。本問ではBを支える左梁と柱の組合せから、通常の曲げ変形による骨組解析でこの関係を使います。反対側がヒンジならその端のモーメントは0となり、同じ伝達率にはなりません。
モーメント図を読むときは、①自由端で0、②張り出しの根元で荷重×腕の長さ\displaystyle \text{荷重}\times\text{腕の長さ}、③剛接合部でモーメントのつり合い、④部材の硬さに応じた分担、⑤支点の固定・ピン条件、の順に確認すると整理できます。「引張側に描く」という問題の指定も大切で、正負の記号を付ける流儀だけで図を裏返さないようにします。
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