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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和6年度 学科Ⅳ（構造） 問2

問題・正答・学習用解説

問題

図のような梁において、梁のヒンジであるＢ点に鉛直力Pが作用したとき、Ａ点、Ｃ点の鉛直反力RA\displaystyle R_A、RCの絶対値の比として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、梁は、曲げ剛性がAB間でEI、BC間で2EIの弾性部材とし、自重は無視する。問2の図1
RA\displaystyle R_ARC\displaystyle R_C
1．11
2．21
3．41
4．81

選択肢

  1. （1）
    1：1
  2. （2）
    2：1
  3. （3）
    4：1
  4. （4）
    8：1

正答と解説

正答：（3）

正答の考え方

反力の比は∣RA∣:∣RC∣=4:1\displaystyle |R_A|:|R_C|=4:1です。反力は、荷重を支えるために支点が梁へ及ぼす力です。AとCは固定端、Bは回転を許すヒンジなので、ABとCBはそれぞれ「固定端からBへ伸びた片持梁」として考えられます。ただしBでつながっているため、Bの下がり量は左右で必ず同じです。
長さL\displaystyle L、曲げ剛性EI\displaystyle EIの片持梁に先端力F\displaystyle Fが作用すると、先端のたわみはδ=FL33EI\displaystyle \delta=\frac{FL^3}{3EI}です。EI\displaystyle EIは曲げにくさを表し、大きいほどたわみが小さくなります。AB側はδA=RAl33EI\displaystyle \delta_A=\frac{R_A l^3}{3EI}、CB側は、次のとおりです。
δC=RC(2l)33⋅2EI=4RCl33EI\begin{aligned}\delta_C&=\frac{R_C(2l)^3}{3\cdot2EI}\\[4pt]&=\frac{4R_C l^3}{3EI}\end{aligned}
長さが2倍になる影響は3乗で8倍、曲げ剛性2倍の効果はその半分なので、同じ力ならCB側は4倍たわみます。
両者を等しくしてRA=4RC\displaystyle R_A=4R_C。また、上向き反力の合計は下向き荷重に等しいのでRA+RC=P\displaystyle R_A+R_C=Pです。したがってRA=4P5\displaystyle R_A=\frac{4P}{5}、RC=P5\displaystyle R_C=\frac{P}{5}となります。短くて相対的にたわみにくいAB側が、荷重の5分の4を負担する結果です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）反力が等しいとすると、AB側のたわみをδ\displaystyle \deltaとしたとき、CB側は4δ\displaystyle 4\delta下がる計算になります。同じ接合点Bが二つの異なる高さになることはできないため、この比は成り立ちません。荷重がヒンジの真上に作用していても、左右へ半分ずつ分かれるとは限らないのです。左右の長さと曲げ剛性が異なる本問では、力のつり合いに加えて、つながった部分の変形が一致する条件が必要になります。

選択肢2

（2）RA:RC=2:1\displaystyle R_A:R_C=2:1では、RC=R\displaystyle R_C=Rと置くとAB側のたわみが2Rl33EI\displaystyle \frac{2Rl^3}{3EI}、CB側が4Rl33EI\displaystyle \frac{4Rl^3}{3EI}となり、後者が前者の2倍です。依然としてB点が同じ位置に収まりません。長さの比だけを反力へ直結させたり、曲げ剛性の2倍だけを見たりすると選びやすい値ですが、片持梁のたわみには長さの3乗が効きます。幾何学的に同じ点であるという条件に戻って、比を確かめましょう。

選択肢3

（3）この比ならRA=4R\displaystyle R_A=4R、RC=R\displaystyle R_C=Rと置けて、どちらから計算してもBのたわみは4Rl33EI\displaystyle \frac{4Rl^3}{3EI}になります。力のつり合いも5R=P\displaystyle 5R=Pで満たせます。Bのヒンジが許すのは左右の梁の回転角が異なることであり、左右の梁が上下に離れることではありません。この「回転は別々でも、移動は同じ」という図の読み方が重要です。反力の絶対値を問われていますが、本問の計算結果は両方とも上向きです。

選択肢4

（4）8:1\displaystyle 8:1は、長さ2倍によるたわみの8倍だけを取り入れ、CBの曲げ剛性が2EI\displaystyle 2EIであることを落とすと出る比です。実際にはCBは同じ長さのEI\displaystyle EIの梁より2倍たわみにくいため、反力比は82=4\displaystyle \frac{8}{2}=4になります。8:1\displaystyle 8:1を代入するとAB側のたわみがCB側の2倍となり、変形が一致しません。分子の長さの3乗と分母の曲げ剛性を、ひとまとまりで比較することが計算の確認になります。

周辺知識

つり合いだけで支点の力が決まらない構造では、「つながった場所は同じだけ動く」という変形の条件を加えます。これを適合条件と呼びます。本問では全体の鉛直力のつり合いだけだとRA+RC=P\displaystyle R_A+R_C=Pまでしか分からず、二つの未知数を決められません。固定端には反力のほかに回転を止めるモーメントも生じるので、単純支持梁のように支点距離だけで荷重を配分することはできません。
片持梁のたわみが長さの3乗に比例するのは、長くすると荷重の腕が長くなって曲げが増え、その曲がりが長い区間で蓄積され、さらに先端の移動として拡大されるためです。式を力について解くとF=(3EIL3)δ\displaystyle F=(\frac{3EI}{L^3})\deltaとなり、括弧内をばねの硬さのように考えられます。
本問のABの硬さはkA=3EIl3\displaystyle k_A=\frac{3EI}{l^3}、CBは、次のとおりです。
kC=3(2EI)(2l)3=kA4\begin{aligned}k_C&=\frac{3(2EI)}{(2l)^3}\\[4pt]&=\frac{k_A}{4}\end{aligned}
同じだけ押し下げるなら硬いばねほど大きな力を受け持つので、力の比も4:1\displaystyle 4:1になります。単位も、E\displaystyle EがN/mm2\displaystyle \mathrm{N/mm^2}、I\displaystyle Iがmm4\displaystyle \mathrm{mm^4}、L\displaystyle Lがmm\displaystyle \mathrm{mm}なら、k\displaystyle kはN/mm\displaystyle \mathrm{N/mm}となり「1 mm\displaystyle 1\,\mathrm{mm}動かすのに必要な力」と読めます。
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