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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和5年度 学科Ⅳ（構造） 問2

問題・正答・学習用解説

問題

図のような断面積が一定で長さが3lの部材において、ａ、ｂ及びｃの位置における断面の図心にそれぞれ軸方向力P、P及び2Pが矢印の向きに作用するとき、「ａ－ｂ間の軸力」と「ｃの軸方向変位」との組合せとして、正しいものは、次のうちどれか。ただし、部材は全長にわたって等質等断面の弾性部材とし、自重は無視する。また、部材の断面積をA、ヤング係数をEとする。問2の図1
ａ－ｂ間の軸力ｃの軸方向変位
1．P\displaystyle P2lAEP\displaystyle \frac{2l}{AE}P
2．P\displaystyle P3lAEP\displaystyle \frac{3l}{AE}P
3．2P\displaystyle 2P2lAEP\displaystyle \frac{2l}{AE}P
4．2P\displaystyle 2P3lAEP\displaystyle \frac{3l}{AE}P

選択肢

  1. （1）
    P\displaystyle P：2lAEP\displaystyle \frac{2l}{AE}P
  2. （2）
    P\displaystyle P：3lAEP\displaystyle \frac{3l}{AE}P
  3. （3）
    2P\displaystyle 2P：2lAEP\displaystyle \frac{2l}{AE}P
  4. （4）
    2P\displaystyle 2P：3lAEP\displaystyle \frac{3l}{AE}P

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

正しい組合せはNab=P\displaystyle N_{ab}=P、δc=3PlAE\displaystyle \delta_c=\frac{3Pl}{AE}です。軸方向力N\displaystyle Nは、棒を長さ方向へ引っ張る、または押し縮める内部の力です。途中を切り、その下側に作用する力を合計すると、切断面が受け持つ力を求められます。
区間abの下には、b点の上向きP\displaystyle Pとc点の下向き2P\displaystyle 2Pがあります。差し引き下向きP\displaystyle Pなので、切断面は上向きP\displaystyle Pで支え、abには引張力P\displaystyle Pが生じます。区間bcの下には下向き2P\displaystyle 2Pだけなので、bcの引張力は2P\displaystyle 2Pです。一方、固定端からaまでの区間では、下側の上向きP+P\displaystyle P+Pと下向き2P\displaystyle 2Pがつり合い、軸方向力は0です。
長さl\displaystyle lの棒の伸びはNlAE\displaystyle \frac{Nl}{AE}です。したがって、c点の下がり量は上から各区間の伸びを足して
δc=0+PlAE+2PlAE=3PlAE\begin{aligned}\delta_c&=0+\frac{Pl}{AE}+\frac{2Pl}{AE}\\[4pt]&=\frac{3Pl}{AE}\end{aligned}
となります。力の合計が0でも、途中の区間には引張力があり、棒全体は伸びます。固定端の反力が0であることと、c点が動かないことは同じ意味ではありません。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）Nab=P\displaystyle N_{ab}=Pは正しい値です。しかし、δc=2PlAE\displaystyle \delta_c=\frac{2Pl}{AE}はbcだけの伸びに相当し、abの伸びPlAE\displaystyle \frac{Pl}{AE}を落としています。c点はbcの下端なので、bc自身が伸びるだけでなく、その上端bがabの伸びによって下がった分も一緒に移動します。上からつながった棒の端の変位は、各区間の伸び縮みを符号付きで合計して求めます。本問ではabもbcも引張りなので、二つを足します。

選択肢2

（2）abの引張力P\displaystyle Pと、c点の下向き変位3PlAE\displaystyle \frac{3Pl}{AE}が両方正しい組合せです。途中の位置も確認すると、固定端からaまでは伸びないのでaの変位は0、bはPlAE\displaystyle \frac{Pl}{AE}下がり、cはそこからさらに2PlAE\displaystyle \frac{2Pl}{AE}下がります。荷重点ごとに軸方向力が変化するため、一本の棒全体に一様なP\displaystyle Pや2P\displaystyle 2Pが作用していると扱わないことが大切です。区間別の力と変形を対応させます。

選択肢3

（3）2P\displaystyle 2Pは区間bcの軸方向力であり、区間abの値ではありません。abを切る場合には、c点の下向き2P\displaystyle 2Pに加えて、b点の上向きP\displaystyle Pも下側の部分へ作用しています。この上向き荷重を含めると差はP\displaystyle Pです。また、c点の変位はbcだけの伸びではなくabの伸びも含むため、2PlAE\displaystyle \frac{2Pl}{AE}にはなりません。切断する位置と、変位を求める位置をそれぞれ図で確かめる必要があります。

選択肢4

（4）c点の変位3PlAE\displaystyle \frac{3Pl}{AE}は正しいものの、Nab=2P\displaystyle N_{ab}=2Pではab部分の力のつり合いに反します。もしabが下側の部分を上向き2P\displaystyle 2Pで引くと、bの上向きP\displaystyle Pもあるため、上向き合計3P\displaystyle 3Pと下向き2P\displaystyle 2Pが一致しません。また、その誤った軸力を伸びの式へ入れると、abとbcの伸びの合計は4PlAE\displaystyle \frac{4Pl}{AE}となり、この選択肢内でも整合しなくなります。

周辺知識

棒の伸びの式は、応力度とひずみから組み立てられます。応力度σ=NA\displaystyle \sigma=\frac{N}{A}は、断面の単位面積あたりが受け持つ力です。たとえば同じ力で引いても、細い棒ほど各部分への負担が大きくなります。ひずみε=Δll\displaystyle \varepsilon=\frac{\Delta l}{l}は、元の長さに対する伸びの割合です。弾性範囲ではσ=Eε\displaystyle \sigma=E\varepsilonという比例関係があり、これらをつなぐとΔl=NlAE\displaystyle \Delta l=\frac{Nl}{AE}が得られます。
式から、力が2倍なら伸びも2倍、長さが2倍なら伸びも2倍、面積やヤング係数が2倍なら伸びは半分と分かります。力をN\displaystyle \mathrm{N}、長さをmm\displaystyle \mathrm{mm}、面積をmm2\displaystyle \mathrm{mm^2}、ヤング係数をN/mm2\displaystyle \mathrm{N/mm^2}にそろえると、伸びの単位はmm\displaystyle \mathrm{mm}です。単位が混ざったまま代入しないようにします。
本問のように途中に荷重がある場合、軸方向力は区間ごとに異なります。最初に力のつり合いで各区間のN\displaystyle Nを求め、次に各区間の変形を求め、最後に足すという順序です。圧縮の区間があれば、その縮みは引張りによる伸びと反対の符号で足します。全体の外力の合計だけでは、内部の力の分布や変形は分かりません。
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