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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和4年度 学科Ⅳ（構造） 問7

問題・正答・学習用解説

問題

図のようなラーメン架構Ａ、Ｂ及びＣの水平方向の固有周期をそれぞれTA\displaystyle T_A、TB\displaystyle T_B及びTC\displaystyle T_Cとしたとき、それらの大小関係として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、柱の曲げ剛性は図中に示すEIあるいは2EIとし、梁は剛体とする。また、柱の質量は考慮しないものとする。問7の図1

選択肢

  1. （1）
    TA<TB=TC\displaystyle T_A<T_B=T_C
  2. （2）
    TB<TA<TC\displaystyle T_B<T_A<T_C
  3. （3）
    TB=TC<TA\displaystyle T_B=T_C<T_A
  4. （4）
    TC<TA<TB\displaystyle T_C<T_A<T_B

正答と解説

正答：（1）

正答の考え方

固有周期はTA<TB=TC\displaystyle T_A<T_B=T_Cで、TB=TC=2TA\displaystyle T_B=T_C=\sqrt2T_Aです。固有周期は、構造を少し揺らして離したときに一往復する時間です。質量m\displaystyle mを水平ばねk\displaystyle kで支える形へ置き換えると、T=2πmk\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}で求められます。重いほど長く、硬いほど短くなる関係です。
柱脚は固定で、上端は剛体梁につながり回転を拘束されるので、柱1本の水平剛性は12EIh3\displaystyle \frac{12EI}{h^3}です。Aは2本でkA=24EIh3\displaystyle k_A=\frac{24EI}{h^3}、質量は2M\displaystyle 2Mです。Bは3本でkB=36EIh3\displaystyle k_B=\frac{36EI}{h^3}ですが、質量も6M\displaystyle 6Mと大きくなっています。
Cは各柱の曲げ剛性が2EI\displaystyle 2EI、高さが2h\displaystyle 2hなので、2本の合計は
kC=2⋅12(2EI)(2h)3=6EIh3\begin{aligned}k_C&=2\cdot\frac{12(2EI)}{(2h)^3}\\[4pt]&=\frac{6EI}{h^3}\end{aligned}
、質量はM\displaystyle Mです。よって
mAkA=Mh312EI\frac{m_A}{k_A}=\frac{Mh^3}{12EI}
、
mBkB=mCkC=Mh36EI\begin{aligned}\frac{m_B}{k_B}&=\frac{m_C}{k_C}\\[4pt]&=\frac{Mh^3}{6EI}\end{aligned}
BとCはAの2倍のmk\displaystyle \frac{m}{k}を持ち、平方根を取るため周期はAの2\displaystyle \sqrt2倍となります。柱の本数や硬さだけでなく、質量も同時に比較する必要があります。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）Aのmk\displaystyle \frac{m}{k}が最も小さく、BとCは同じ値なので、この順序が正しいものです。Aに対してBは質量が3倍、剛性が1.5倍で、mk\displaystyle \frac{m}{k}は2倍です。Cは質量が半分、剛性が4分の1なので、やはりmk\displaystyle \frac{m}{k}は2倍になります。異なる形の架構でも、質量と復元する硬さの比が等しければ、ここで扱う一自由度の固有周期は同じです。外観の高さだけで周期を決めつけないようにします。

選択肢2

（2）Bは柱が3本あってAより硬いものの、梁の質量はAの3倍です。剛性の増加1.5倍より質量の増加3倍の影響が大きいため、Bの周期はAより短くならず、2\displaystyle \sqrt2倍長くなります。Cについても、Aより高くて柔らかい一方、質量が小さいことを含めるとBと同じ周期です。ばねの硬さだけを見てTB\displaystyle T_Bを最小にする判断は、周期式の分子を落としています。

選択肢3

（3）BとCが等しい点は正しいですが、Aとの大小が逆です。周期はmk\displaystyle \frac{m}{k}の平方根に比例し、Aのmk\displaystyle \frac{m}{k}はB・Cの半分なので、Aの周期が最も短くなります。逆数のkm\displaystyle \frac{k}{m}は振動数の2乗に比例するため、それを周期の大小と同じ向きに比べると誤ります。周期は一往復の時間、振動数は1秒の往復回数という関係を確認し、硬いばねほど速く往復するイメージにつなげます。

選択肢4

（4）Cは最も軽く、各柱のEI\displaystyle EIも大きいものの、高さが2倍なので柱の水平剛性には23=8\displaystyle 2^3=8倍の低下要因があります。EI\displaystyle EIの2倍を考慮しても各柱はAの4分の1の剛性で、2本の合計もAの4分の1です。質量の半分という効果より剛性低下の効果が大きく、Cの周期はAより長くなります。高さは一次ではなく3乗で効くため、材料の硬さや軽さだけで順位を決めないようにします。

周辺知識

ばねにつながれたおもりを横へ動かすと、ばねは元へ戻す力を出し、おもりは慣性によって動き続けます。この往復運動の式がmx¨+kx=0\displaystyle m\ddot x+kx=0で、周期は2πmk\displaystyle 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}です。微分を習っていなくても、重いおもりは方向を変えにくく、硬いばねは強く引き戻すと考えれば、質量で周期が長く、剛性で短くなる意味を理解できます。
剛体梁は、柱頭を同じ水平移動へそろえる役割を持ちます。各柱は同じ変位を受けるので、抵抗力を足せます。これは並列に置いたばねの剛性が合計になるのと同じです。柱の上端の回転が拘束されるため、片持柱の先端力による剛性3EIh3\displaystyle \frac{3EI}{h^3}ではなく12EIh3\displaystyle \frac{12EI}{h^3}を用います。
単位も確認できます。質量をkg\displaystyle \mathrm{kg}、水平剛性をN/m\displaystyle \mathrm{N/m}にすると、mk\displaystyle \frac{m}{k}はs2\displaystyle \mathrm{s}^2で、その平方根が秒です。本問では柱の質量を無視し、梁の質量に集中させています。実建物では各階の質量や剛性が分布し、複数の揺れ方がありますが、まずこの質量と硬さの関係が基礎となります。
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