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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和4年度 学科Ⅳ（構造） 問5

問題・正答・学習用解説

問題

図のような荷重が作用するトラスにおいて、部材Ａ、Ｂ及びＣに生じる軸方向力をそれぞれNA\displaystyle N_A、NB\displaystyle N_B及びNC\displaystyle N_Cとするとき、それらの大小関係として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、全ての部材は弾性部材とし、自重は無視する。また、軸方向力は、引張力を「+」、圧縮力を「-」とする。問5の図1

選択肢

  1. （1）
    NA<NB<NC\displaystyle N_A<N_B<N_C
  2. （2）
    NB<NA<NC\displaystyle N_B<N_A<N_C
  3. （3）
    NC<NA<NB\displaystyle N_C<N_A<N_B
  4. （4）
    NC<NB<NA\displaystyle N_C<N_B<N_A

正答と解説

正答：（1）

正答の考え方

軸方向力はNA=P\displaystyle N_A=P、NB=2P\displaystyle N_B=\sqrt2P、NC=22P\displaystyle N_C=2\sqrt2Pで、全て引張りです。したがってNA<NB<NC\displaystyle N_A<N_B<N_Cとなります。最初に支点反力を求め、次に必要な節点や部材を切って力のつり合いを考えます。
下向き荷重は5個で合計5P\displaystyle 5Pです。左支点回りのモーメントはP(0+l+2l+3l+4l)=10Pl\displaystyle P(0+l+2l+3l+4l)=10Pl。中央のローラー支点は左から2l\displaystyle 2lなので、その反力は10Pl2l=5P\displaystyle \frac{10Pl}{2l}=5Pで、左支点の鉛直反力は0です。
左上の節点では、荷重P\displaystyle Pを左の縦材が支えます。左下の節点へはその縦材から下向きP\displaystyle Pが伝わるため、45度のB材が上向き成分P\displaystyle Pを負担し、NB2=P\displaystyle \frac{N_B}{\sqrt2}=PからNB=2P\displaystyle N_B=\sqrt2Pです。A・C・下弦材を切って左側を見ると、下向き荷重2個をCの鉛直成分が支えるのでNC=22P\displaystyle N_C=2\sqrt2P。C下端回りのモーメントではPl−NAl=0\displaystyle Pl-N_Al=0からNA=P\displaystyle N_A=Pです。各力を引張り向きに仮定した結果が正なので、符号も全て正です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）P<2P<22P\displaystyle P<\sqrt2P<2\sqrt2Pで、記述の順序が正しいものです。係数を小数で見れば1<1.414<2.828\displaystyle 1<1.414<2.828となります。全て正の引張力なので、今回は大きさの比較と符号付きの値の比較が一致します。図の中央支点が全荷重を支えていても、左側の部材に軸力が生じないわけではありません。各節点に作用する荷重を、中央支点まで伝える途中で部材が引張り・圧縮を受けます。

選択肢2

（2）BとAの順序が逆です。B材は45度に傾いており、鉛直成分P\displaystyle Pを作るためには、部材方向にPsin⁡45∘=2P\displaystyle \frac{P}{\sin45^\circ}=\sqrt2Pが必要です。A材は水平材で、切断した左側の回転を止めるためP\displaystyle Pを受け持ちます。どちらも同じ荷重P\displaystyle Pと関係していても、力を伝える向きと役割が異なるので等しくはなりません。斜材の成分の計算と、水平材のモーメントの計算を区別します。

選択肢3

（3）Cを最小とする点が不適切です。A・C・下弦材を切った左側には、上からP\displaystyle Pが2個作用し、左支点の反力は0です。切った水平材Aと下弦材には鉛直成分がないため、この2P\displaystyle 2PをCの上向き成分だけで支えます。よってNC2=2P\displaystyle \frac{N_C}{\sqrt2}=2Pで、Cは3本の中で最大の22P\displaystyle 2\sqrt2Pです。斜材が中央支点へ近いから小さいと判断せず、切断した側の荷重合計を確認します。

選択肢4

（4）CとAの大小が逆で、BとAの順序も違います。Cが22P\displaystyle 2\sqrt2P、Bが2P\displaystyle \sqrt2P、AがP\displaystyle Pなので、最大はC、最小はAです。また問題は圧縮を負とする符号付きの比較ですが、本問の3本は全て引張りです。力の矢印を切断面から外へ向くように仮定し、つり合いで得た値が正なら引張り、負なら反対の圧縮と判定します。絶対値だけを見て順序を並べない習慣が大切です。

周辺知識

トラスの計算には、節点法と切断法があります。節点法は接合点を一つ取り出し、水平・鉛直の力のつり合いを使います。未知の部材力が少ない端の節点から始めると、順に解けます。切断法は必要な部材を横切るように骨組を切り、片側全体について力とモーメントのつり合いを使います。
切断法では、求めたい力以外の未知力が交わる点をモーメントの中心にすると、その未知力の腕が0になって消えます。本問でAを求める際にCの下端節点を選ぶのは、Cと下弦材がそこを通るためです。残るAの腕が高さl\displaystyle l、左端荷重P\displaystyle Pの腕もl\displaystyle lなので、NA=P\displaystyle N_A=Pが直接求まります。
支点反力が0でも、その近くの部材力が0とは限りません。また、荷重が支点の外側へ張り出す場合には、支点の反力が下向きになることもあります。全体のつり合いから反力を先に求め、部分のつり合いへ進むことで、見た目の対称性や距離感だけによる判断を避けられます。
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