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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和4年度 学科Ⅳ（構造） 問3

問題・正答・学習用解説

問題

図のような鉛直方向に等分布荷重wと水平方向に集中荷重Pが作用する骨組において、固定端Ａ点に曲げモーメントが生じない場合の荷重wlと荷重Pの比として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、全ての部材は弾性部材とし、自重は無視する。問3の図1
wl\displaystyle wlP\displaystyle P
1．11
2．12
3．21
4．31

選択肢

  1. （1）
    1：1
  2. （2）
    1：2
  3. （3）
    2：1
  4. （4）
    3：1

正答と解説

正答：（3）

正答の考え方

荷重の比はwl:P=2:1\displaystyle wl:P=2:1です。w\displaystyle wは単位長さあたりの分布荷重なので、長さl\displaystyle lに一様に作用する全荷重はwl\displaystyle wlです。この合力は荷重範囲の中央、すなわちAから水平方向へl2\displaystyle \frac{l}{2}離れた位置に作用します。
A点回りでは、鉛直荷重wl\displaystyle wlは時計回りにwl⋅l2\displaystyle wl\cdot\frac{l}{2}のモーメントを作ります。左向きの集中荷重P\displaystyle PはAより高さl\displaystyle lにあり、反時計回りにPl\displaystyle Plを作ります。上の梁の高さは3l2\displaystyle \frac{3l}{2}ですが、P\displaystyle Pが作用する高さはそこからl2\displaystyle \frac{l}{2}下のl\displaystyle lです。力の作用線までの垂直距離を使う必要があります。
固定端Aの反力モーメントが0になる条件は、二つの荷重の回転作用が打ち消し合うことなので、wl⋅l2=Pl\displaystyle wl\cdot\frac{l}{2}=Plです。l\displaystyle lで割るとwl2=P\displaystyle \frac{wl}{2}=P、したがってwl=2P\displaystyle wl=2Pとなります。Aが固定端でも、特定の荷重の組合せで反力モーメントが0になることはあります。ただし、鉛直・水平の反力や各部の曲げまで全て0になるわけではありません。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）wl=P\displaystyle wl=Pとすると、鉛直荷重の回転作用はPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}、水平荷重はPl\displaystyle Plとなり、反時計回りがPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}だけ余ります。それを止めるためAには反力モーメントが必要になり、条件に合いません。同じ大きさの力でも、作用線までの腕が異なれば回す効果は違います。本問は鉛直荷重の腕がl2\displaystyle \frac{l}{2}、水平荷重の腕がl\displaystyle lなので、前者の力が2倍必要です。

選択肢2

（2）wl:P=1:2\displaystyle wl:P=1:2なら、wl=F\displaystyle wl=F、P=2F\displaystyle P=2Fとして、鉛直荷重のモーメントはFl2\displaystyle \frac{Fl}{2}、水平荷重は2Fl\displaystyle 2Flです。後者が前者の4倍となり、つり合いません。腕が長い方の力を大きくすると回転作用の差をさらに広げてしまいます。てこのつり合いでは、腕が短い側ほど大きな力が必要です。どちらの腕が長いかを図から確認し、比の順序をwl:P\displaystyle wl:Pに合わせます。

選択肢3

（3）wl=2P\displaystyle wl=2Pなら、鉛直荷重のモーメントは(2P)(l2)=Pl\displaystyle (2P)(\frac{l}{2})=Plとなり、水平荷重のPl\displaystyle Plと反対向きで一致します。したがってAの反力モーメントを0にできます。反力は鉛直上向き2P\displaystyle 2P、水平右向きP\displaystyle Pで、これらはA点を通るのでA回りのモーメントを持ちません。力のつり合いとモーメントのつり合いを別々に確認すると、固定端の反力モーメントだけが0という条件の意味が分かります。

選択肢4

（4）wl=3P\displaystyle wl=3Pとすると、鉛直荷重の時計回りモーメントは3Pl2\displaystyle \frac{3Pl}{2}、水平荷重の反時計回りはPl\displaystyle Plで、時計回りにPl2\displaystyle \frac{Pl}{2}余ります。全体の高さ3l2\displaystyle \frac{3l}{2}を、水平荷重P\displaystyle Pの腕として使うと選びやすい比ですが、P\displaystyle Pは上の梁よりl2\displaystyle \frac{l}{2}低い位置へ作用します。モーメントに使うのは部材をたどった長さや最高高さではなく、その力の作用線までの最短の垂直距離です。

周辺知識

力のつり合いには、水平力の合計0、鉛直力の合計0、モーメントの合計0という三つの条件があります。モーメントは、ある点を中心に回そうとする作用で、次の積で表されます。
力×その点から力の作用線までの垂直距離\text{力}\times\begin{gathered}\text{その点から力の作用線}\\\text{までの垂直距離}\end{gathered}
曲がった形の骨組でも、外力全体のつり合いを考える段階では、部材に沿った経路の長さを使いません。
等分布荷重は、荷重強さw\displaystyle wと載荷長さl\displaystyle lの積を合力とし、その中央へ置き換えられます。w\displaystyle wがkN/m\displaystyle \mathrm{kN/m}、l\displaystyle lがm\displaystyle \mathrm{m}なら、wl\displaystyle wlはkN\displaystyle \mathrm{kN}です。これに腕のm\displaystyle \mathrm{m}を掛けるとモーメントはkN⋅m\displaystyle \mathrm{kN\cdot m}となります。分布荷重の強さw\displaystyle wと、集中荷重P\displaystyle Pをそのまま比にすると単位が違うため、本問では全荷重wl\displaystyle wlとP\displaystyle Pの比を問うています。
固定端は回転を許さない支点であり、常に0でない反力モーメントが生じるという意味ではありません。荷重の回転作用がちょうど打ち消し合えば0にもなります。ただし構造内部では各荷重を支点へ伝える途中に曲げが生じ、弾性変形もあります。支点での値と、骨組全体の応力や変形の有無を区別しましょう。
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