資格ナビ一級建築士の演習へ

学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和4年度 学科Ⅳ（構造） 問2

問題・正答・学習用解説

問題

図のように、材料とスパンが同じで、断面が異なる単純梁Ａ、Ｂ及びＣの中央に集中荷重Pが作用したとき、それぞれの梁の曲げによる中央たわみδA\displaystyle \delta_A、δB\displaystyle \delta_B及びδC\displaystyle \delta_Cの大小関係として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、それぞれの梁は全長にわたって等質等断面の弾性部材とし、自重は無視する。また、梁を構成する部材の接触面の摩擦及び接着はないものとする。問2の図1

選択肢

  1. （1）
    δA<δB=δC\displaystyle \delta_A<\delta_B=\delta_C
  2. （2）
    δA=δB<δC\displaystyle \delta_A=\delta_B<\delta_C
  3. （3）
    δB=δC<δA\displaystyle \delta_B=\delta_C<\delta_A
  4. （4）
    δC<δA=δB\displaystyle \delta_C<\delta_A=\delta_B

正答と解説

正答：（4）

正答の考え方

たわみはδC<δA=δB\displaystyle \delta_C<\delta_A=\delta_Bです。梁の中央たわみは、同じ材料・全長・荷重・支持条件なら、断面二次モーメントI\displaystyle Iに反比例します。ただし本問は、板同士に摩擦も接着もありません。積み重ねた板を、高さが一体となった厚い梁として計算できない点が重要です。
各板はそれぞれの中央を中立軸として曲がるので、板ごとのI=bh312\displaystyle I=\frac{bh^3}{12}を足します。Aは幅2a・厚さaの板が3枚で、次のとおりです。
IA=3(2a⋅a312)=a42\begin{aligned}I_A&=3(2a\cdot\frac{a^3}{12})\\[4pt]&=\frac{a^4}{2}\end{aligned}
Bは幅3a・厚さaの板が2枚で、次のとおりです。
IB=2(3a⋅a312)=a42\begin{aligned}I_B&=2(3a\cdot\frac{a^3}{12})\\[4pt]&=\frac{a^4}{2}\end{aligned}
したがって両者のたわみは等しくなります。
Cは幅3a2\displaystyle \frac{3a}{2}・高さ2aの板が横に2枚あるので、
IC=2{3a2(2a)312}=2a4\begin{aligned}I_C&=2\left\{\frac{\frac{3a}{2}(2a)^3}{12}\right\}\\[4pt]&=2a^4\end{aligned}
CのI\displaystyle IはA・Bの4倍で、
δC=δA4=δB4\begin{aligned}\delta_C&=\frac{\delta_A}{4}\\[4pt]&=\frac{\delta_B}{4}\end{aligned}
となります。Aは外見の高さが3aでも、接触面が滑るため、その全高を使った一体断面の強い曲げ剛性を発揮しません。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）Aの外形の高さ3aだけを見ると最も曲がりにくく感じますが、板同士が滑るため一体断面ではありません。Aは薄い板3枚それぞれのI\displaystyle Iの合計で、Bと同じa42\displaystyle \frac{a^4}{2}です。Cは各板自身の高さが2aあるのでI=2a4\displaystyle I=2a^4と大きく、Bと同じたわみにはなりません。外側から見た全高と、ずれずに協力して曲がる有効な高さを区別する必要があります。

選択肢2

（2）AとBが等しい点は正しいですが、Cとの大小が逆です。Cの各板は高さ2aで、厚さaの板より、高さの3乗によるI\displaystyle Iの効果を大きく持ちます。計算するとIC=4IA\displaystyle I_C=4I_Aなので、同じ力で曲げたときのたわみは4分の1です。たわみの式はI\displaystyle Iが分母にあるため、断面二次モーメントが大きい方ほどたわみは小さくなります。比を求めた後に、最後の大小を逆にしないようにします。

選択肢3

（3）BとCは外形が幅3a・高さ2aで同じですが、板の分け方が異なります。Bは上下の板が別々に曲がるので、各板の高さはaです。Cは左右に並ぶ各板が高さ2aを持ち、共通の水平中央軸で曲がります。このためCのI\displaystyle IはBの4倍です。接触面にせん断力を伝えられないという条件が、上下分割では大きく効きます。外形と総面積が同じでも、接合条件によって曲げ剛性が異なります。

選択肢4

（4）AとBはI=a42\displaystyle I=\frac{a^4}{2}で等しく、CはI=2a4\displaystyle I=2a^4なので、Cが最も小さくたわむ組合せが正しいものです。単純支持梁の中央たわみはδ=PL348EI\displaystyle \delta=\frac{PL^3}{48EI}で、本問の全長はL=2l\displaystyle L=2lです。各梁でこの全長と荷重・材料が共通なので、比を取ればI\displaystyle Iだけの比較になります。共通因子を消す方法と、各板のI\displaystyle Iを正しく求める方法を分けて進めると、余分な計算を減らせます。

周辺知識

上下に重ねた紙を曲げると、紙の端が互いに少しずれます。重ねただけなら各紙は自分の中央を基準に曲がりますが、しっかり接着すると上下の紙が滑れず、全体の上側が縮み、下側が伸びる厚い一枚の板として働きます。この違いが、非合成と合成の曲げ剛性の違いです。
一体断面のI\displaystyle Iを部品に分けて計算するときは、各部品自身のI\displaystyle Iに、面積×(全体の軸からのずれ)2\displaystyle \text{面積}\times(\text{全体の軸からのずれ})^2であるAd2\displaystyle Ad^2を加えます。しかし本問の上下の板は滑りを止める接合がないため、離れた板の押し引きによる一体断面の効果を期待できず、その項を加えることはできません。
横並びのCでは各板の中央の高さが共通なので、各板のI\displaystyle Iを足しても外形一体の場合と同じ水平軸についての値になります。実際の構造でも、鋼梁とコンクリート床を一体として働かせるにはスタッドなどのずれ止めが必要です。断面形状だけでなく、境界で力を受け渡せるかが変形性能を決めます。
この年度・科目を演習する問題一覧に戻る