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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和4年度 学科Ⅳ（構造） 問1

問題・正答・学習用解説

問題

図-1のような等質な材料からなる部材の断面が、図-2に示す垂直応力度分布となって全塑性状態に達している。このとき、断面の図心に作用する圧縮軸力Nと曲げモーメントMとの組合せとして、正しいものは、次のうちどれか。ただし、降伏応力度はσy\displaystyle \sigma_yとする。問1の図1
N\displaystyle NM\displaystyle M
1．8a2σy\displaystyle 8a^2\sigma_y42a3σy\displaystyle 42a^3\sigma_y
2．8a2σy\displaystyle 8a^2\sigma_y52a3σy\displaystyle 52a^3\sigma_y
3．12a2σy\displaystyle 12a^2\sigma_y42a3σy\displaystyle 42a^3\sigma_y
4．12a2σy\displaystyle 12a^2\sigma_y52a3σy\displaystyle 52a^3\sigma_y

選択肢

  1. （1）
    8a2σy\displaystyle 8a^2\sigma_y：42a3σy\displaystyle 42a^3\sigma_y
  2. （2）
    8a2σy\displaystyle 8a^2\sigma_y：52a3σy\displaystyle 52a^3\sigma_y
  3. （3）
    12a2σy\displaystyle 12a^2\sigma_y：42a3σy\displaystyle 42a^3\sigma_y
  4. （4）
    12a2σy\displaystyle 12a^2\sigma_y：52a3σy\displaystyle 52a^3\sigma_y

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

正しい組合せはN=8a2σy\displaystyle N=8a^2\sigma_y、M=52a3σy\displaystyle M=52a^3\sigma_yです。垂直応力度は断面に直角な方向へ作用する単位面積あたりの力です。全塑性状態では、図の圧縮部分・引張部分が、それぞれ一定の降伏応力度σy\displaystyle \sigma_yに達しています。したがって、まず実際に材料のある面積を数えます。
全断面積は外側から空洞を引き、次のとおりです。
(6a)(8a)−(4a)(6a)=24a2(6a)(8a)-(4a)(6a)=24a^2
下側の引張範囲は高さ2aですが、幅6aの底板6a2\displaystyle 6a^2と、その上の左右の壁2a2\displaystyle 2a^2の合計8a2\displaystyle 8a^2です。圧縮面積は24a2−8a2=16a2\displaystyle 24a^2-8a^2=16a^2なので、差し引きの圧縮軸力は(16−8)a2σy=8a2σy\displaystyle (16-8)a^2\sigma_y=8a^2\sigma_yとなります。
曲げは図心回りで求めます。全断面を一様な圧縮とした状態は図心回りのモーメントが0です。そこから下部を圧縮から引張りへ反転させると、応力度の変化は2σy\displaystyle 2\sigma_y。底板中心は図心より3.5a\displaystyle 3.5a下、左右の引張部分の中心は2.5a\displaystyle 2.5a下なので、次のとおりです。
M=2σy(6a2⋅3.5a+2a2⋅2.5a)=52a3σy\begin{aligned}M&=2\sigma_y\bigl(6a^2\cdot3.5a\\&\qquad+2a^2\cdot2.5a\bigr)\\[4pt]&=52a^3\sigma_y\end{aligned}

各選択肢の解説

選択肢1

（1）圧縮軸力8a2σy\displaystyle 8a^2\sigma_yは正しい値ですが、曲げモーメント42は底板だけの寄与2σy(6a2)(3.5a)\displaystyle 2\sigma_y(6a^2)(3.5a)に相当します。引張範囲の高さは底板の厚さaだけでなく2aなので、その上の左右の縦壁にも合計2a2\displaystyle 2a^2の引張部分があります。その寄与
2σy(2a2)(2.5a)=10a3σy2\sigma_y(2a^2)(2.5a)=10a^3\sigma_y
を足す必要があります。空洞の境界と応力が切り替わる高さを重ねて読むことが重要です。

選択肢2

（2）軸力と曲げの両方が正しい組合せです。軸力は圧縮力から引張力を引いた差、曲げはそれぞれの力に図心からの距離を掛けて合計したものです。下部の引張りは上部の圧縮と同じ向きの曲げ作用を作るため、曲げの計算では相殺しません。N\displaystyle Nは面積×応力度\displaystyle \text{面積}\times\text{応力度}で力、M\displaystyle Mは面積×応力度×距離\displaystyle \text{面積}\times\text{応力度}\times\text{距離}で力×長さ\displaystyle \text{力}\times\text{長さ}の単位となり、a2\displaystyle a^2とa3\displaystyle a^3の違いも確認できます。

選択肢3

（3）N=12a2σy\displaystyle N=12a^2\sigma_yは、引張部分を底板6a2\displaystyle 6a^2だけとして、圧縮18・引張6の差を取ると出る値です。しかし応力図の引張範囲は下から2aまであり、縦壁部分2a2\displaystyle 2a^2も引張りに含まれます。これを取り入れると圧縮は16、引張りは8へ変わり、差は8です。また曲げの42もその縦壁の寄与を落としています。面積とモーメントの両方に、同じ図の読み違いが影響します。

選択肢4

（4）曲げモーメント52a3σy\displaystyle 52a^3\sigma_yは正しいものの、軸力12a2σy\displaystyle 12a^2\sigma_yは正しくありません。引張面積は8a2\displaystyle 8a^2なので、全断面一様圧縮の24a2σy\displaystyle 24a^2\sigma_yから、下部の応力度を反転させる変化2σy⋅8a2\displaystyle 2\sigma_y\cdot8a^2を引くと、次のとおりです。
N=(24−16)a2σy=8a2σy\begin{aligned}N&=(24-16)a^2\sigma_y\\[4pt]&=8a^2\sigma_y\end{aligned}
この方法なら曲げと同じ「全圧縮から下部を反転」という整理で、二つの値を一貫して求められます。

周辺知識

弾性曲げでは、応力度が中立軸からの距離に比例する直線分布として扱われます。一方、本問は全塑性状態なので、圧縮側も引張側も降伏応力度に達した矩形分布です。弾性時の
σ=NA±MZ\sigma=\frac{N}{A}\pm\frac{M}{Z}
をそのまま当てはめて図の一定応力度分布を作る問題ではありません。
軸力がない純曲げの全塑性状態なら、同じ降伏応力度の材料では圧縮面積と引張面積が等しくなります。本問は圧縮軸力があるため、圧縮面積が大きく、応力の符号が変わる位置は図心から下へずれています。材料の面積で決まる図心と、全塑性時の応力が切り替わる位置は一致するとは限りません。
モーメントは力×距離\displaystyle \text{力}\times\text{距離}なので、矩形の応力度分布は「その範囲の面積×応力度\displaystyle \text{面積}\times\text{応力度}」という合力に置き換え、その範囲の図心へ作用させます。中空断面では、空洞部分に力は生じません。外形の高さの割合だけで圧縮力・引張力を配分せず、材料が存在する板を分けて面積と重心を求めることが大切です。
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