学科Ⅱ（環境・設備）

一級建築士令和4年度学科Ⅱ（環境・設備）問7

問題・正答・学習用解説

問題

図のような水平に取り付けられた下面発光形の円形光源Ａと、それと同じ面積で45°傾いた位置にある下面発光形の円形光源Ｂが、イ～ホの条件を満たす場合、次の記述のうち、最も不適当なものはどれか。条件イ．光源Ａの中心とその鉛直下にある点Ｐとの距離は、

\displaystyle r\,\mathrm{m}

である。ロ．光源Ｂの中心と点Ｐとの距離は、

\displaystyle r\,\mathrm{m}

である。ハ．光源Ａ及び光源Ｂは、等輝度均等拡散の発光面である。ニ．光源Ａ及び光源Ｂの面積は

\displaystyle S\,\mathrm{m^2}

、輝度は

\displaystyle L\,\mathrm{cd/m^2}

である。ホ．光源Ａ及び光源Ｂの外縁と点Ｐとの距離は、

\displaystyle d\,\mathrm{m}

である。

選択肢

（1）
光源Ａの点Ｐに対する立体角投射率（％）は、 $\displaystyle \dfrac{S}{\pi d^2}\times100$ である。
（2）
光源Ｂの点Ｐに対する立体角投射率（％）を $\displaystyle C_B$ とすると、光源Ｂによる点Ｐの水平面直接照度（lx）である $\displaystyle E_{BP}$ は、 $\displaystyle \pi L\times\dfrac{C_B}{100}\times\cos45^\circ$ である。
（3）
光源Ａによる点Ｐの水平面直接照度（lx）である $\displaystyle E_{AP}$ と、光源Ｂによる点Ｐの水平面直接照度（lx）である $\displaystyle E_{BP}$ の関係は、 $\displaystyle E_{AP}>E_{BP}$ である。
（4）
$\displaystyle r$ が光源Ａの直径の10倍以上の場合、一般に、光源Ａは点Ｐにおいて点光源とみなせる。

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

正解は（2）です。立体角投射率は、受照点から見える光源の広がりを、受ける面へ投射した割合です。光が水平面へ斜めに届く効果も、その投射の中に含まれています。輝度が一様な拡散発光面の場合、立体角投射率を％で

\displaystyle C

とすると、水平面の直接照度は次の式で求めます。

E=\pi L\frac{C}{100}

したがってBについても、

\displaystyle E_{BP}=\pi L\frac{C_B}{100}

となります。本肢のように、さらに

\displaystyle \cos45^\circ

を掛ける必要はありません。掛けてしまうと、面へ斜めに届くことによる減少を二重に計上し、照度を小さく見積もります。点光源の式に余弦があったことを思い出して、別の式にも機械的に追加しないようにします。

本問ではAとBの輝度、面積、中心からPまでの距離、外縁までの距離が同じで、Bは配置の方向が45°傾いています。この向きの違いは立体角投射率の違いとして表されます。単位面積がどれほど明るく見えるかという輝度と、受照面へどれほど光が届くかという照度を、形状と向きの情報で結び付ける問題です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）適当です。円形光源Aの半径を

\displaystyle a

、Pから外縁へ向かう線と鉛直軸の角を

\displaystyle \alpha

とすると、

\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{d}

です。水平面への立体角投射率は

\displaystyle \sin^2\alpha=\frac{a^2}{d^2}

であり、

\displaystyle S=\pi a^2

を使うと

\displaystyle \frac{S}{\pi d^2}

になります。％表示では100を掛けます。ここで

\displaystyle d

は外縁までの斜め距離で、中心までの

\displaystyle r

と異なるため、式の分母を取り違えないことが重要です。

選択肢2

（2）不適当です。

\displaystyle C_B

は水平面への投射を済ませた割合なので、照度は

\displaystyle \frac{\pi L C_B}{100}

です。45°の影響は

\displaystyle C_B

の中に含まれています。角度を使う式が誤りなのではなく、同じ影響をもう一度掛けることが誤りです。税込価格に税率を再び掛けないのと同じく、用いる量がどこまで処理済みかを確かめます。ただし、このたとえは二重計上の説明であり、光の物理的な仕組みを表すものではありません。

選択肢3

（3）適当です。AはPの真上にあって水平面に対する投射が大きく、Bは斜め上の方向にあるため、同じ輝度・面積・距離でも水平面への投射が小さくなります。よってAによる照度がBより大きくなります。光源自体の輝度Lが同じことと、Pで受ける照度が同じことは別です。窓や照明が同じ明るさに見えても、受ける面に対する位置や角度が違えば、その面へ届く光は変わります。

選択肢4

（4）適当です。距離

\displaystyle r

が光源の直径の10倍以上なら、受照点から見た光源の広がりが十分小さく、一般に点光源として近似できます。実物の面積がなくなるわけではなく、各部分までの距離や角度の差を小さいものとして省略する近似です。近い大きな面光源では、それらの差を無視できず、面としての計算が必要になります。光源の大きさだけでなく、その大きさに対してどれほど遠いかが判断条件です。

周辺知識

面光源の照度は、小さく分けた発光面から届く光を足し合わせて考えます。各部分について光源側から見た方向、受照面側の角度、距離が影響します。立体角投射率は、それらのうち光源が受照面に対して占める幾何学的な広がりをまとめて扱える量です。だから、求めた割合へさらに同じ受照面の余弦を掛ける必要がありません。

輝度Lの単位は

\displaystyle \mathrm{cd/m^2}

、照度Eの単位はlxです。前者は発光面や反射面の見える明るさに関係し、後者は受ける面の光の密度を示します。同じ輝度の窓でも、受照点から大きく見える窓や正面にある窓のほうが、一般に多くの光を届けます。

また、％で表した投射率は、式へ入れるとき100で割って割合へ直します。例えば20％なら0.2です。20のまま掛けると100倍の誤りになります。光源の条件、投射する面、距離の種類、百分率の扱いを一つずつ確認すると、複雑に見える式でも、どの部分が光の性質でどの部分が形の効果かを分けて読めます。

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