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学科Ⅳ（構造）

一級建築士 令和2年度 学科Ⅳ（構造） 問5

問題・正答・学習用解説

問題

図のような荷重が作用するトラスにおいて、部材Ａ、Ｂ、Ｃ及びＤに生じる軸方向力をそれぞれNA\displaystyle N_A、NB\displaystyle N_B、NC\displaystyle N_C及びND\displaystyle N_Dとするとき、それらの値として、誤っているものは、次のうちどれか。ただし、軸方向力は、引張力を「+」、圧縮力を「-」とする。問5の図1

選択肢

  1. （1）
    NA=−522P\displaystyle N_A=-\frac{5\sqrt{2}}{2}P
  2. （2）
    NB=−5P\displaystyle N_B=-5P
  3. （3）
    NC=−22P\displaystyle N_C=-\frac{\sqrt{2}}{2}P
  4. （4）
    ND=0\displaystyle N_D=0

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

部材Bの軸力は−4P\displaystyle -4Pなので、−5P\displaystyle -5Pとする（2）が誤りです。全体にはPが5か所で左右対称に作用するため、左右の鉛直反力はそれぞれ5P2\displaystyle \frac{5P}{2}です。全スパンは6l\displaystyle 6l、トラスの高さはlで、斜材は45度です。
B、C、その下の水平材を横切るように切断し、左側を取り出します。左から2l\displaystyle 2lの下側節点回りでモーメントを取ると、Cと下側水平材の作用線はその点を通るので消えます。左反力のモーメントは(5P2)2l\displaystyle (\frac{5P}{2})2l、左からlの上側荷重は逆向きにPl、左から2l\displaystyle 2lの荷重は腕0です。Bの圧縮力の大きさを∣NB∣\displaystyle |N_B|とすれば、
∣NB∣l=(5P2)2l−Pl=4Pl\begin{aligned}|N_B|l&=(\frac{5P}{2})2l-Pl\\[4pt]&=4Pl\end{aligned}
よってNB=−4P\displaystyle N_B=-4Pです。
左支点の鉛直力はAの斜材が受けるため、NAsin⁡45∘+5P2=0\displaystyle N_A\sin45^\circ+\frac{5P}{2}=0からNA=−52P2\displaystyle N_A=\frac{-5\sqrt2P}{2}です。先ほどの切断の鉛直つり合いは5P2−2P+NCsin⁡45∘=0\displaystyle \frac{5P}{2}-2P+N_C\sin45^\circ=0なのでNC=−2P2\displaystyle N_C=\frac{-\sqrt2P}{2}となります。Dの下端は外力がなく左右の水平材が一直線なので、鉛直方向の力はDだけです。そのつり合いからND=0\displaystyle N_D=0です。

各選択肢の解説

選択肢1

（1）左支点では上向き反力5P2\displaystyle \frac{5P}{2}を、斜材Aの鉛直成分が下向きに打ち消します。引張りを正としてAが右上へ節点を引く向きに仮定すると、
5P2+NA2=0\frac{5P}{2}+\frac{N_A}{\sqrt2}=0
で、NA=−52P2\displaystyle N_A=\frac{-5\sqrt2P}{2}となります。負なので圧縮であり、記述は適切です。水平材は鉛直成分を持たないため、この節点の鉛直つり合いだけでAを求められます。斜材の軸力全体と、その鉛直成分を同じ値にしないようにします。

選択肢2

（2）Bを切った左側部分で、左から2l\displaystyle 2lの下側節点回りにモーメントを取ると、Bの圧縮力は、次のとおりです。
[(5P2)2l−Pl]l=4P\frac{[(\frac{5P}{2})2l-Pl]}{l}=4P
従って軸力は−4P\displaystyle -4Pで、−5P\displaystyle -5Pは誤りです。左反力による5Pl\displaystyle 5Plだけを使うと5Pとなりますが、左からlの荷重Pが作る逆向きのPlを引かなければなりません。切断した部分の内側にある外力を全て含め、腕が0の荷重と、無視してはいけない荷重を区別します。

選択肢3

（3）BとCと下側水平材で切断した左側には、反力5P2\displaystyle \frac{5P}{2}と下向きP二つがあります。差のP2\displaystyle \frac{P}{2}をCの下向き成分でつり合わせるので、
NC2=−P2\frac{N_C}{\sqrt2}=\frac{-P}{2}
、NC=−2P2\displaystyle N_C=\frac{-\sqrt2P}{2}です。従って記述は適切です。Bと下側材は水平で鉛直成分がないため、Cを求めるのにそれらの軸力の値は必要ありません。切断後の力を各方向へ分解し、最も未知数が少なくなるつり合い式を選ぶと計算を簡単にできます。

選択肢4

（4）Dの下端節点には外力や支点反力がなく、左右の二本の部材が水平な一直線上にあります。鉛直方向に成分を持つ部材はDだけなので、ND=0\displaystyle N_D=0でなければ節点がつり合いません。記述は適切です。Dの上端には荷重Pがあっても、その荷重は周囲の斜材などから伝えられるため、必ず真下のDが受けるわけではありません。零部材はこの荷重状態で軸力0という意味で、荷重の位置が変わっても不要な部材という意味ではありません。

周辺知識

トラスの部材は、節点をピンでつなぐ理想化では主に軸力で抵抗します。引張材は節点を自分の方へ引き、圧縮材は節点を押します。全てを引張りの向きに仮定して解けば、計算結果が負となる部材が圧縮です。
節点法は一つの節点の水平・鉛直つり合いを使い、切断法は数本の部材を切って片側全体のつり合いを使います。本問のBは、他の未知部材二本の作用線が交わる点回りにモーメントを取ると、それらを式から消せます。必要な部材だけを効率よく求められる方法です。
外力のない節点で三部材が集まり、そのうち二本が一直線なら、残る一本の軸力は0となります。Dはこの条件です。ただし同じ節点に外力が加わる別の荷重状態では0とは限りません。図を読む際は、支点反力、荷重点、部材の角度、一直線の関係を確認し、得られた軸力を節点や全体のつり合いへ戻して検算します。
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