理論
電験三種 令和7年度下期 理論 問17(b) 問題・正答・学習用解説
問題 図のように，極板間の厚さd[m]，表面積S[m²]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は，比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ E A 1 \displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}} E A 1 ， E A 2 \displaystyle E_{\mathrm{A_{2}}} E A 2 ， E A 3 \displaystyle E_{\mathrm{A_{3}}} E A 3 ，コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ E B 1 \displaystyle E_{\mathrm{B_{1}}} E B 1 ， E B 2 \displaystyle E_{\mathrm{B_{2}}} E B 2 ， E B 3 \displaystyle E_{\mathrm{B_{3}}} E B 3 とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率を ε 0 \displaystyle \varepsilon_{0} ε 0 [F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V[V]の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。 (b) コンデンサB全体の蓄積エネルギーは，コンデンサA全体の蓄積エネルギーの何倍か，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。 選択肢 （1） 0.72
（2） 0.83
（3） 1.00
（4） 1.20
（5） 1.38
正答と解説 正答：（4）
正答の考え方 正解は(4)です。両コンデンサに同じ電圧 V を加えるので、蓄積エネルギー W = ( 1 2 ) C V 2 \displaystyle W=(\frac{1}{2})CV^{2} W = ( 2 1 ) C V 2 は静電容量 C に比例し、エネルギーの比はそのまま容量の比に等しくなります。コンデンサ A は3層を厚さ方向に重ねた直列構造です。各層の容量は C = ε r ⋅ ε 0 ⋅ S 層厚 \displaystyle C=\varepsilon _{\mathrm{r}}\cdot \varepsilon _{0}\cdot \frac{S}{\text{層厚}} C = ε r ⋅ ε 0 ⋅ 層厚 S で、層厚 d 6 \displaystyle \frac{d}{6} 6 d ・ d 3 \displaystyle \frac{d}{3} 3 d ・ d 2 \displaystyle \frac{d}{2} 2 d 、比誘電率 2・3・6 を用いると、 1 C A = ∑ 層厚 ε r ⋅ ε 0 ⋅ S \displaystyle \frac{1}{C_{\mathrm{A}}}=\sum \frac{\text{層厚}}{\varepsilon _{\mathrm{r}}\cdot \varepsilon _{0}\cdot S} C A 1 = ∑ ε r ⋅ ε 0 ⋅ S 層厚 = ( 1 ε 0 S ) [ d 6 2 + d 3 3 + d 2 6 ] \displaystyle =(\frac{1}{\varepsilon _{0}S})[\frac{\frac{d}{6}}{2}+\frac{\frac{d}{3}}{3}+\frac{\frac{d}{2}}{6}] = ( ε 0 S 1 ) [ 2 6 d + 3 3 d + 6 2 d ] = ( d ε 0 S ) ( 1 12 + 1 9 + 1 12 ) \displaystyle =(\frac{d}{\varepsilon _{0}S})(\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}) = ( ε 0 S d ) ( 12 1 + 9 1 + 12 1 ) = ( d ε 0 S ) ( 5 18 ) \displaystyle =(\frac{d}{\varepsilon _{0}S})(\frac{5}{18}) = ( ε 0 S d ) ( 18 5 ) 。よって C A = ( 18 5 ) ⋅ ε 0 S d \displaystyle C_{\mathrm{A}}=(\frac{18}{5})\cdot \frac{\varepsilon _{0}S}{d} C A = ( 5 18 ) ⋅ d ε 0 S 。コンデンサ B は3種類の誘電体を断面積方向に分けた並列構造で、各部分容量の和になります。比誘電率と断面積の積に比例し、 C B = ( 1 3 + 1 + 3 ) ⋅ ε 0 S d \displaystyle C_{\mathrm{B}}=(\frac{1}{3}+1+3)\cdot \frac{\varepsilon _{0}S}{d} C B = ( 3 1 + 1 + 3 ) ⋅ d ε 0 S = ( 13 3 ) ⋅ ε 0 S d \displaystyle =(\frac{13}{3})\cdot \frac{\varepsilon _{0}S}{d} = ( 3 13 ) ⋅ d ε 0 S 。したがって比は C B C A = 13 3 18 5 \displaystyle \frac{C_{\mathrm{B}}}{C_{\mathrm{A}}}=\frac{\frac{13}{3}}{\frac{18}{5}} C A C B = 5 18 3 13 = 13 × 5 3 × 18 \displaystyle =\frac{13\times 5}{3\times 18} = 3 × 18 13 × 5 = 65 54 ≃ 1.20 \displaystyle =\frac{65}{54}\simeq 1.20 = 54 65 ≃ 1.20 倍となります。 各選択肢の解説 選択肢1 同じ電圧に接続されたコンデンサのエネルギー比は容量比に等しくなります。 C B C A = 13 3 18 5 \displaystyle \frac{C_{\mathrm{B}}}{C_{\mathrm{A}}}=\frac{\frac{13}{3}}{\frac{18}{5}} C A C B = 5 18 3 13 = 65 54 ≃ 1.20 \displaystyle =\frac{65}{54}\simeq 1.20 = 54 65 ≃ 1.20 であり，0.72ではありません。比を逆にしても 54 65 ≃ 0.83 \displaystyle \frac{54}{65}\simeq 0.83 65 54 ≃ 0.83 となり，0.72とは異なります。 選択肢2 0.83 は誤りです。これは容量比を逆向き ( C A C B = 54 65 ≃ 0.83 ) \displaystyle (\frac{C_{\mathrm{A}}}{C_{\mathrm{B}}}=\frac{54}{65}\simeq 0.83) ( C B C A = 65 54 ≃ 0.83 ) にとった値で、問われているのは『B は A の何倍か』なので C B C A ≃ 1.20 \displaystyle \frac{C_{\mathrm{B}}}{C_{\mathrm{A}}}\simeq 1.20 C A C B ≃ 1.20 が正解です。 選択肢3 1.00 は誤りです。両コンデンサの容量が等しいとした場合の値ですが、A は直列で C A = ( 18 5 ) ε 0 S d \displaystyle C_{\mathrm{A}}=\frac{(\frac{18}{5})\varepsilon _{0}S}{d} C A = d ( 5 18 ) ε 0 S 、B は並列で C B = ( 13 3 ) ε 0 S d \displaystyle C_{\mathrm{B}}=\frac{(\frac{13}{3})\varepsilon _{0}S}{d} C B = d ( 3 13 ) ε 0 S と異なるため、比は 1.00 になりません。 選択肢5 1.38 は誤りです。各部分容量の計算（比誘電率や断面積・層厚の配分）を誤るとこの付近になりますが、 C B C A = 65 54 \displaystyle \frac{C_{\mathrm{B}}}{C_{\mathrm{A}}}=\frac{65}{54} C A C B = 54 65 ≃ 1.20 \displaystyle \simeq 1.20 ≃ 1.20 が正しい値です。 周辺知識 同一電圧下では蓄積エネルギー W = ( 1 2 ) C V 2 \displaystyle W=(\frac{1}{2})CV^{2} W = ( 2 1 ) C V 2 が容量 C に比例するため、エネルギー比＝容量比に帰着します（もし同一電荷なら W = Q 2 2 C \displaystyle W=\frac{Q^{2}}{2C} W = 2 C Q 2 で容量に反比例するので、何が共通かを必ず確認）。容量の合成は構造で決まり、誘電体を厚さ方向に積層すれば『直列＝逆数の和』、断面積方向に並べれば『並列＝そのまま和』です。直列では合成容量が最小の部分容量よりさらに小さくなり、並列では各容量の単純和で大きくなります。本問では A が直列で C A = ( 18 5 ) ε 0 S d \displaystyle C_{\mathrm{A}}=\frac{(\frac{18}{5})\varepsilon _{0}S}{d} C A = d ( 5 18 ) ε 0 S 、B が並列で C B = ( 13 3 ) ε 0 S d \displaystyle C_{\mathrm{B}}=\frac{(\frac{13}{3})\varepsilon _{0}S}{d} C B = d ( 3 13 ) ε 0 S となり、並列の B のほうが容量・エネルギーともに大きい（約1.20倍）という結果になります。誘電体の入れ方で容量が大きく変わることを示す典型例で、絶縁・コンデンサ設計の基礎です。計算では分数（ 5 18 \displaystyle \frac{5}{18} 18 5 や 13 3 \displaystyle \frac{13}{3} 3 13 ）を正確に扱うことがポイントで、最後に比の向き（B が A の何倍か）を取り違えないよう注意します。 ← 前の問題（問17(a)） 次の問題（問18(a)）→ 出典と解説について 出題・正答の公表元：電気技術者試験センター。公式の試験問題・正答公表ページ
解説は資格ナビが作成した学習用の説明です。試験実施団体による公式解説ではありません。法令・制度は出題当時と現在で異なる場合があります。試験情報や訂正は公表元で確認してください。
