資格ナビ電験三種の演習へ

理論

電験三種 令和7年度下期 理論 問17(a)

問題・正答・学習用解説

問題

図のように，極板間の厚さd[m]，表面積S[m²]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は，比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEA1\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}，EA2\displaystyle E_{\mathrm{A_{2}}}，EA3\displaystyle E_{\mathrm{A_{3}}}，コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEB1\displaystyle E_{\mathrm{B_{1}}}，EB2\displaystyle E_{\mathrm{B_{2}}}，EB3\displaystyle E_{\mathrm{B_{3}}}とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率をε0\displaystyle \varepsilon_{0}[F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V[V]の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。問17(a)の図1問17(a)の選択肢の図表

選択肢

  1. （1）
    (1)
  2. （2）
    (2)
  3. （3）
    (3)
  4. （4）
    (4)
  5. （5）
    (5)

正答と解説

正答：（5）

正答の考え方

正解は(5)です。コンデンサ A は3種類の誘電体を厚さ方向に重ねた『積層（直列）』構造です。直列に重なった誘電体では、各層を貫く電束密度 D が共通になります（境界面で D の法線成分が連続）。各層の電界は E=Dεr⋅ε0\displaystyle E=\frac{D}{\varepsilon _{\mathrm{r}}\cdot \varepsilon _{0}} なので、D が一定なら比誘電率 εr\displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}} が小さい層ほど電界 E が大きくなります。比誘電率が層1で2、層2で3、層3で6なので、電界の大小は EA1>EA2>EA3\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}>E_{\mathrm{A_{2}}}>E_{\mathrm{A_{3}}} となります。最大値EA1\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}} を求めるには、各層の電圧降下の和が全電圧 V に等しい関係 V=EA1⋅(d6)+EA2⋅(d3)+EA3⋅(d2)\displaystyle V=E_{\mathrm{A_{1}}}\cdot (\frac{d}{6})+E_{\mathrm{A_{2}}}\cdot (\frac{d}{3})+E_{\mathrm{A_{3}}}\cdot (\frac{d}{2}) を使います（各層厚は d6\displaystyle \frac{d}{6}、d3\displaystyle \frac{d}{3}、d2\displaystyle \frac{d}{2} とする）。EA1=D2ε0\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}=\frac{D}{2\varepsilon _{0}}、EA2=D3ε0\displaystyle E_{\mathrm{A_{2}}}=\frac{D}{3\varepsilon _{0}}、EA3=D6ε0\displaystyle E_{\mathrm{A_{3}}}=\frac{D}{6\varepsilon _{0}} を代入すると V\displaystyle V =(Dε0)[(12)(d6)+(13)(d3)+(16)(d2)]\displaystyle =(\frac{D}{\varepsilon _{0}})[(\frac{1}{2})(\frac{d}{6})+(\frac{1}{3})(\frac{d}{3})+(\frac{1}{6})(\frac{d}{2})] =(Ddε0)(112+19+112)\displaystyle =(\frac{Dd}{\varepsilon _{0}})(\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}) =(Ddε0)(518)\displaystyle =(\frac{Dd}{\varepsilon _{0}})(\frac{5}{18})。よって D=18Vε05d\displaystyle D=\frac{18V\varepsilon _{0}}{5d}、最大値EA1=D2ε0\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}=\frac{D}{2\varepsilon _{0}} =9V5d\displaystyle =\frac{9V}{5d} となります。これが『最大値は EA1\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}} で 9V5d\displaystyle \frac{9V}{5d}』とする(5)に対応します。

各選択肢の解説

選択肢1

大小関係が逆で、最大値も誤っています。直列誘電体では比誘電率が小さい層ほど電界が大きいので EA1>EA2>EA3\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}>E_{\mathrm{A_{2}}}>E_{\mathrm{A_{3}}} が正しく、εr\displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}} 最小の層1が最大値9V5d\displaystyle \frac{9V}{5d} を示します。

選択肢2

大小関係 EA1>EA2>EA3\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}>E_{\mathrm{A_{2}}}>E_{\mathrm{A_{3}}} は正しいものの、最大値を 3V5d\displaystyle \frac{3V}{5d} などとするのは計算誤りです。EA1=D2ε0\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}=\frac{D}{2\varepsilon _{0}} =9V5d\displaystyle =\frac{9V}{5d} が正しい最大値です。

選択肢3

直列誘電体では電界は一定にならないので誤りです。電束密度 D が共通になるのであって、電界 E=Dε\displaystyle E=\frac{D}{\varepsilon } は比誘電率により層ごとに変わります。

選択肢4

最大値9V5d\displaystyle \frac{9V}{5d} は正しいものの、大小関係を EA1<EA2<EA3\displaystyle E_{\mathrm{A_{1}}}<E_{\mathrm{A_{2}}}<E_{\mathrm{A_{3}}} のように逆向きにしているため誤りです。比誘電率最小の層1で電界が最大になります。

周辺知識

誘電体の重ね方で何が共通になるかを区別するのが要点です。電極面に平行に層を重ねる『直列（積層）』では、各層を同じ電束密度 D（＝同じ自由電荷面密度に対応）が貫くため D が共通、電界は E=Dε\displaystyle E=\frac{D}{\varepsilon } で比誘電率の小さい層ほど大きくなります。一方、電極面に垂直に区切る『並列』では各部分に同じ電界 E（同じ電圧距離）がかかり、こちらは(b)で扱うコンデンサ B の構造です。直列誘電体では各層の電圧降下 E×(層厚) の合計が全電圧 V に等しいという関係から D（あるいは各 E）を決めます。実務的には、誘電体を積層した絶縁構造で『比誘電率の小さい層に電界が集中して絶縁破壊しやすい』ことを意味し、高圧機器の絶縁設計で重要です（例：空気層は εr\displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}} が小さく電界が集中して放電しやすい）。境界条件『D の法線成分連続、E の接線成分連続』を理解しておくと、直列・並列いずれの構成も迷わず解けます。
この年度・科目を演習する問題一覧に戻る