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理論

電験三種 令和7年度下期 理論 問9

問題・正答・学習用解説

問題

図1のような抵抗 R[Ω]と誘導性リアクタンス X[Ω]との直列回路がある。この回路に正弦波交流電圧 E=100V\displaystyle E=100 V を加えたとき，回路に流れる電流は 10 A であった。この回路に図2のように，更に抵抗 11 Ωを直列接続したところ，回路に流れる電流は 5 A になった。抵抗 R[Ω]の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。問9の図1

選択肢

  1. （1）
    16.7
  2. （2）
    5.5
  3. （3）
    11.4
  4. （4）
    8.6
  5. （5）
    8.1

正答と解説

正答：（5）

正答の考え方

正解は(5)です。図1は抵抗 R と誘導性リアクタンス X の直列回路で、合成インピーダンスは Z1=R2+X2\displaystyle Z_{1}=\sqrt{R^{2}+X^{2}}。電圧 100 V で電流 10 A なので Z1=EI=10010\displaystyle Z_{1}=\frac{E}{I}=\frac{100}{10} =10 Ω\displaystyle =10\,\mathrm{\Omega }、すなわち R2+X2=102=100⋯\displaystyle R^{2}+X^{2}=10^{2}=100\cdots(式1)。図2ではこれに 11 Ω を直列に追加するので合成抵抗が R+11 になり、Z2=(R+11)2+X2\displaystyle Z_{2}=\sqrt{(R+11)^{2}+X^{2}}。電流が 5 A になったので Z2=1005=20 Ω\displaystyle Z_{2}=\frac{100}{5}=20\,\mathrm{\Omega }、すなわち (R+11)2+X2=202\displaystyle (R+11)^{2}+X^{2}=20^{2} =400⋯\displaystyle =400\cdots(式2)。リアクタンス X は抵抗を足しても変わらないので、式2から式1を辺々引いて X2\displaystyle X^{2} を消去します。(R+11)2−R2=400−100\displaystyle (R+11)^{2}-R^{2}=400-100 =300\displaystyle =300。左辺を展開すると (R2+22R+121)−R2=22R+121\displaystyle (R^{2}+22R+121)-R^{2}=22R+121。よって 22R+121=300\displaystyle 22R+121=300、22R=179\displaystyle 22R=179、R=17922≃8.1 Ω\displaystyle R=\frac{179}{22}\simeq 8.1\,\mathrm{\Omega } となります。

各選択肢の解説

選択肢1

16.7 Ω は過大で誤りです。図1の条件 R2+X2=10\displaystyle \sqrt{R^{2}+X^{2}}=10 から R は必ず 10 Ω 以下でなければならず、16.7 Ω はこれに反します。

選択肢2

5.5 Ω は誤りです。22R+121=300\displaystyle 22R+121=300 を解くと R=17922≃8.1 Ω\displaystyle R=\frac{179}{22}\simeq 8.1\,\mathrm{\Omega } です。5.5 では 22×5.5+121=242\displaystyle 22\times 5.5+121=242≠300 となり式2を満たしません。

選択肢3

11.4 Ω は誤りです。図1の合成インピーダンス Z1=10 Ω\displaystyle Z_{1}=10\,\mathrm{\Omega } より大きく、R≤10\displaystyle R\le 10 という条件に反するため不適です。

選択肢4

8.6 Ω は正解に近い値ですが誤りです。22R=179\displaystyle 22R=179 を正確に解くと R=8.136\displaystyle R=8.136…≒8.1 Ω であり、8.6 ではわずかに大きすぎます（22×8.6=189.2\displaystyle 22\times 8.6=189.2≠179）。

周辺知識

交流の RL 直列回路では、抵抗とリアクタンスは『直角三角形（インピーダンス三角形）』の関係になり、合成インピーダンスは単純な和ではなく Z=R2+X2\displaystyle Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}} というベクトル和（二乗和の平方根）で求めます。電流の大きさは I=EZ(実効値)\displaystyle I=\frac{E}{Z}(\text{実効値})で、位相は別途 tan⁡θ=XR\displaystyle \tan \theta =\frac{X}{R} で扱います。本問の解法のキモは『抵抗を直列追加してもリアクタンス X は不変』という性質を使い、2本のインピーダンス式の差をとって X2\displaystyle X^{2} を消去すること。これにより R だけの一次方程式に帰着します。直流の内部抵抗問題（問6）と発想は同じで、共通する未知数を消去して解きます。展開公式 (R+11)2=R2+22R+121\displaystyle (R+11)^{2}=R^{2}+22R+121 を使う際、−R2\displaystyle -R^{2} が消えて一次式になる点が計算を楽にします。なお求めた R≒8.1 Ω のとき X2=100−8.12≃34.4\displaystyle X^{2}=100-8.1^{2}\simeq 34.4 で X≒5.9 Ω となり、いずれも図1の Z1=10 Ω\displaystyle Z_{1}=10\,\mathrm{\Omega } 以下に収まっている（R≤10\displaystyle R\le 10、X≤10)\displaystyle X\le 10)ことが妥当性の確認になります。
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