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理論

電験三種 令和7年度下期 理論 問8

問題・正答・学習用解説

問題

図のように，R1\displaystyle R_{1}=20 Ωと R2\displaystyle R_{2}=30 Ωの抵抗，静電容量 C=1100π\displaystyle C=\frac{1}{100\pi} [F]のコンデンサ，インダクタンス L=14π\displaystyle L=\frac{1}{4\pi} [H]のコイルからなる回路に周波数 f[Hz]で実効値 V[V]が一定の交流電圧を加えた。f=10Hz\displaystyle f=10 Hz のときに R1\displaystyle R_{1} を流れる電流の大きさを I10Hz\displaystyle I_{10\mathrm{Hz}}[A]，f=10MHz\displaystyle f=10 MHz のときに R1\displaystyle R_{1} を流れる電流の大きさを I10MHz\displaystyle I_{10\mathrm{MHz}}[A]とする。このとき，電流比 I10HzI10MHz\displaystyle \frac{I_{10\mathrm{Hz}}}{I_{10\mathrm{MHz}}} の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。問8の図1

選択肢

  1. （1）
    2.5
  2. （2）
    1.7
  3. （3）
    1.0
  4. （4）
    0.6
  5. （5）
    0.4

正答と解説

正答：（5）

正答の考え方

正解は(5)です。まず LC 並列部の共振（反共振）周波数を求めます。L=14π H\displaystyle L=\frac{1}{4\pi }\,\mathrm{H}、C=1100π F\displaystyle C=\frac{1}{100\pi }\,\mathrm{F} より LC=14π×1100π\displaystyle LC=\frac{1}{4\pi }\times \frac{1}{100\pi } =1400π2\displaystyle =\frac{1}{400\pi ^{2}}。よって LC=120π\displaystyle \sqrt{LC}=\frac{1}{20\pi } となり、f0=12πLC\displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} =12π×120π\displaystyle =\frac{1}{2\pi \times \frac{1}{20\pi }} =20π2π=10 Hz\displaystyle =\frac{20\pi }{2\pi }=10\,\mathrm{Hz} です。すなわち f=10Hz\displaystyle f=10 Hz はちょうど LC 並列共振周波数です。理想的な LC 並列共振ではインピーダンスが無限大になり、電流は並列部を通れず R2\displaystyle R_{2} を経由して流れます。このとき R1\displaystyle R_{1} に流れる電流は回路全体（R1\displaystyle R_{1} と R2\displaystyle R_{2} の直列）を流れるので I10Hz=VR1+R2\displaystyle I_{\mathrm{10Hz}}=\frac{V}{R_{1}+R_{2}} =V20+30=V50\displaystyle =\frac{V}{20+30}=\frac{V}{50}。一方 f=10MHz\displaystyle f=10 MHz は共振点よりはるかに高い周波数で、コンデンサのリアクタンス 1ωC\displaystyle \frac{1}{\omega C} がほぼ 0 となり並列部は短絡されます。よって電流は R1\displaystyle R_{1} だけで決まり I10MHz=VR1\displaystyle I_{\mathrm{10MHz}}=\frac{V}{R_{1}} =V20\displaystyle =\frac{V}{20}。したがって電流比 I10HzI10MHz=V50V20\displaystyle \frac{I_{\mathrm{10Hz}}}{I_{\mathrm{10MHz}}}=\frac{\frac{V}{50}}{\frac{V}{20}} =2050=0.4\displaystyle =\frac{20}{50}=0.4 となります。

各選択肢の解説

選択肢1

2.5 は求める比の逆数 I10MHzI10Hz=V20V50\displaystyle \frac{I_{\mathrm{10MHz}}}{I_{\mathrm{10Hz}}}=\frac{\frac{V}{20}}{\frac{V}{50}} =5020=2.5\displaystyle =\frac{50}{20}=2.5 に当たり、問われている I10HzI10MHz\displaystyle \frac{I_{\mathrm{10Hz}}}{I_{\mathrm{10MHz}}} とは分母分子が逆です。正しくは 0.4 です。

選択肢2

1.7 は誤りです。f=10Hz\displaystyle f=10 Hz での並列共振（並列部開放）や f=10MHz\displaystyle f=10 MHz でのコンデンサ短絡を正しく扱えていない中途半端な値です。正しくは V50V20=0.4\displaystyle \frac{\frac{V}{50}}{\frac{V}{20}}=0.4 です。

選択肢3

1.0 は両周波数で電流が等しいことを意味し誤りです。共振点と超高周波では回路の見え方が R1+R2\displaystyle R_{1}+R_{2} と R1\displaystyle R_{1} で大きく異なるため、電流は等しくなりません。

選択肢4

0.6 は誤りです。R1=20 Ω\displaystyle R_{1}=20\,\mathrm{\Omega } と R2=30 Ω\displaystyle R_{2}=30\,\mathrm{\Omega } の比などを取り違えるとこの付近の値になりますが、正しくは I10Hz=V50\displaystyle I_{\mathrm{10Hz}}=\frac{V}{50}、I10MHz=V20\displaystyle I_{\mathrm{10MHz}}=\frac{V}{20} から 0.4 です。

周辺知識

LC 並列回路は共振周波数 f0=12πLC\displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} でインピーダンスが最大（理想で無限大）になり『電流を通しにくい』のが特徴です。これは直列共振（共振でインピーダンス最小・電流最大）と正反対なので、直列か並列かを必ず確認します。周波数による素子の振る舞いも重要で、コイルのリアクタンス ωL は周波数に比例（高周波で開放・低周波で短絡）、コンデンサのリアクタンス 1ωC\displaystyle \frac{1}{\omega C} は周波数に反比例（高周波で短絡・低周波で開放）します。本問では『共振点ちょうど（並列部開放）』と『超高周波（コンデンサ短絡）』という両極端を問うており、極端な周波数では一方の素子が支配的になると割り切れます。f0\displaystyle f_{0} を求める計算では LC=1400π2\displaystyle LC=\frac{1}{400\pi ^{2}} のように π2\displaystyle \pi ^{2} がきれいに消える設計になっているのが電験らしい工夫です。比を問われたときは分母分子の取り違え（逆数）に注意し、何を基準にした比かを最後に確認しましょう。
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