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理論

電験三種 令和7年度下期 理論 問6

問題・正答・学習用解説

問題

図のように，内部抵抗 r[Ω]，起電力 E[V]の電池に抵抗値 R[Ω]の可変抵抗器を接続した回路がある。R=2.25Ω\displaystyle R=2.25 \Omegaにしたとき，回路を流れる電流は I=3A\displaystyle I=3 A であった。次に，R=3.45Ω\displaystyle R=3.45 \Omegaにしたとき，回路を流れる電流は I=2A\displaystyle I=2 A となった。この電池の起電力 E[V]の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。問6の図1

選択肢

  1. （1）
    9.30
  2. （2）
    7.20
  3. （3）
    7.05
  4. （4）
    6.90
  5. （5）
    6.75

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

正解は(2)です。内部抵抗 r をもつ電池に外部抵抗 R を直列接続した回路では、キルヒホッフの電圧則から起電力 E=I(R+r)\displaystyle E=I(R+r) が成り立ちます。条件1(R=2.25Ω\displaystyle 1(R=2.25 \Omega、I=3A)\displaystyle I=3 A)より E=3(2.25+r)=6.75+3r\displaystyle E=3(2.25+r)=6.75+3r。条件2(R=3.45Ω\displaystyle 2(R=3.45 \Omega、I=2A)\displaystyle I=2 A)より E=2(3.45+r)=6.90+2r\displaystyle E=2(3.45+r)=6.90+2r。同じ電池なので E と r は共通であり、両式を等しいとおくと 6.75+3r=6.90+2r\displaystyle 6.75+3r=6.90+2r。整理すると r=0.15Ω\displaystyle r=0.15 \Omega。これを条件1の式へ戻して E=3(2.25+0.15)=3×2.40=7.20V\displaystyle E=3(2.25+0.15)=3\times 2.40=7.20 V となります（条件2でも E=2(3.45+0.15)=2×3.60=7.20V\displaystyle E=2(3.45+0.15)=2\times 3.60=7.20 V と一致し検算できます）。

各選択肢の解説

選択肢1

9.30 V は過大で誤りです。r=0.15Ω\displaystyle r=0.15 \Omega を求めて E=I(R+r)\displaystyle E=I(R+r) に代入すれば 7.20 V です。9.30 は条件の数値を誤って足し合わせた値で、両条件を同時に満たしません。

選択肢3

起電力が7.05 Vだと，条件1からr=7.05−6.753\displaystyle r=\frac{7.05-6.75}{3} =0.10 Ω\displaystyle =0.10\,\mathrm{\Omega }，条件2からr=7.05−6.902\displaystyle r=\frac{7.05-6.90}{2} =0.075 Ω\displaystyle =0.075\,\mathrm{\Omega }となり，同じ内部抵抗になりません。両条件を満たすのはr=0.15Ω\displaystyle r=0.15 \Omega，E=7.20V\displaystyle E=7.20 Vです。

選択肢4

6.90 V は誤りです。これは条件2の R=3.45Ω\displaystyle R=3.45 \Omega、I=2A\displaystyle I=2 A から内部抵抗を無視した端子電圧 2×3.45=6.90\displaystyle 2\times 3.45=6.90 に過ぎず、内部抵抗降下 Ir=2×0.15=0.30V\displaystyle Ir=2\times 0.15=0.30 V を加えていません。正しくは E=7.20V\displaystyle E=7.20 V です。

選択肢5

6.75 V は誤りです。これは条件1の R=2.25Ω\displaystyle R=2.25 \Omega、I=3A\displaystyle I=3 A から内部抵抗を無視した 3×2.25=6.75\displaystyle 3\times 2.25=6.75 で、内部抵抗降下 3×0.15=0.45V\displaystyle 3\times 0.15=0.45 V を加えていません。正しい起電力は 7.20 V です。

周辺知識

実際の電池は理想起電力 E と内部抵抗 r の直列とみなせ、端子電圧 V=E−Ir\displaystyle V=E-Ir で表されます。電流が増えるほど内部抵抗での電圧降下 Ir が大きくなり、端子電圧は下がります。この『内部抵抗を未知数として、負荷条件を2組与えて連立方程式で E と r を求める』のは電験で頻出のパターンです。コツは E=I(R+r)\displaystyle E=I(R+r) を2本立てて引き算し、E を消去して r を先に求めること。得られた r=0.15Ω\displaystyle r=0.15 \Omega は実際の電池としても小さめで妥当です。関連して、外部抵抗を変えながら端子電圧と電流を測ると V-I 直線が得られ、その傾きが −r、縦軸切片が E（開放電圧）になります。最大電力供給の定理（R=r\displaystyle R=r のとき負荷で最大電力）もこの内部抵抗モデルから導かれる重要事項です。
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