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理論

電験三種 令和7年度下期 理論 問5

問題・正答・学習用解説

問題

図のように，三つの抵抗 R1\displaystyle R_{1}=5 Ω，R2\displaystyle R_{2}=4 Ω，R3\displaystyle R_{3}=8 Ω と電圧 V [V]の直流電源からなる回路がある。抵抗 R1\displaystyle R_{1}，R2\displaystyle R_{2}，R3\displaystyle R_{3} の消費電力をそれぞれ P1\displaystyle P_{1} [W]，P2\displaystyle P_{2} [W]，P3\displaystyle P_{3} [W]とするとき，その大きさの大きい順として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。問5の図1

選択肢

  1. （1）
    P1\displaystyle P_{1} > P2\displaystyle P_{2} > P3\displaystyle P_{3}
  2. （2）
    P1\displaystyle P_{1} > P3\displaystyle P_{3} > P2\displaystyle P_{2}
  3. （3）
    P2\displaystyle P_{2} > P1\displaystyle P_{1} > P3\displaystyle P_{3}
  4. （4）
    P2\displaystyle P_{2} > P3\displaystyle P_{3} > P1\displaystyle P_{1}
  5. （5）
    P3\displaystyle P_{3} > P1\displaystyle P_{1} > P2\displaystyle P_{2}

正答と解説

正答：（1）

正答の考え方

正解は(1)です。回路は R1=5 Ω\displaystyle R_{1}=5\,\mathrm{\Omega } が直列、R2=4 Ω\displaystyle R_{2}=4\,\mathrm{\Omega } と R3=8 Ω\displaystyle R_{3}=8\,\mathrm{\Omega } が並列という構成です。直列の R1\displaystyle R_{1} には回路の全電流 I が流れるので、その消費電力は P1=I2R1=5I2\displaystyle P_{1}=I^{2}R_{1}=5I^{2} です。並列部の合成抵抗は R2R3R2+R3=4×84+8\displaystyle \frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}=4\times \frac{8}{4+8} =3212=83 Ω\displaystyle =\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\,\mathrm{\Omega } で、その両端電圧は Vp=I×(83)\displaystyle V_{\mathrm{p}}=I\times (\frac{8}{3})。並列に接続された各抵抗にはこの同じ電圧Vp\displaystyle V_{\mathrm{p}} がかかるので、P=V2R\displaystyle P=\frac{V^{2}}{R} を用いて、P2=Vp2R2=(8I3)24\displaystyle P_{2}=\frac{V_{\mathrm{p}}^{2}}{R_{2}}=\frac{(\frac{8I}{3})^{2}}{4} =64I294=16I29\displaystyle =\frac{\frac{64I^{2}}{9}}{4}=\frac{16I^{2}}{9} ≃1.78I2\displaystyle \simeq 1.78I^{2}、P3=Vp2R3=64I298\displaystyle P_{3}=\frac{V_{\mathrm{p}}^{2}}{R_{3}}=\frac{\frac{64I^{2}}{9}}{8} =8I29≃0.89I2\displaystyle =\frac{8I^{2}}{9}\simeq 0.89I^{2}。これらを比べると P1=5I2\displaystyle P_{1}=5I^{2}、P2≃1.78I2\displaystyle P_{2}\simeq 1.78I^{2}、P3≃0.89I2\displaystyle P_{3}\simeq 0.89I^{2} なので、P1>P2>P3\displaystyle P_{1}>P_{2}>P_{3} となります。

各選択肢の解説

選択肢2

P1>P3>P2\displaystyle P_{1}>P_{3}>P_{2} は誤りです。並列部では同じ電圧がかかり、抵抗の小さい R2(4 Ω)\displaystyle R_{2}(4\,\mathrm{\Omega }) のほうが R3(8 Ω)\displaystyle R_{3}(8\,\mathrm{\Omega }) より消費電力が大きいので P2>P3\displaystyle P_{2}>P_{3} です。大小が逆になっています。

選択肢3

P2>P1>P3\displaystyle P_{2}>P_{1}>P_{3} は誤りです。直列の R1\displaystyle R_{1} には全電流 I が流れ P1=5I2\displaystyle P_{1}=5I^{2} が最大です。P2≃1.78I2\displaystyle P_{2}\simeq 1.78I^{2} なので P1>P2\displaystyle P_{1}>P_{2} が正しい順です。

選択肢4

P2>P3>P1\displaystyle P_{2}>P_{3}>P_{1} は誤りです。直列の R1\displaystyle R_{1} の消費電力 5I2\displaystyle 5I^{2} が三つの中で最大であり、P1\displaystyle P_{1} が最後にくることはありません。

選択肢5

P3>P1>P2\displaystyle P_{3}>P_{1}>P_{2} は誤りです。P3≃0.89I2\displaystyle P_{3}\simeq 0.89I^{2} は最小で、P1=5I2\displaystyle P_{1}=5I^{2} が最大です。順序が大きく入れ替わっています。

周辺知識

消費電力は P=I2R=V2R=VI\displaystyle P=I^{2}R=\frac{V^{2}}{R}=VI の三つの形で表せ、どれを使うかが直列・並列で変わります。『直列では電流が共通だから P=I2R\displaystyle P=I^{2}R（抵抗が大きいほど電力大）』『並列では電圧が共通だから P=V2R\displaystyle P=\frac{V^{2}}{R}（抵抗が小さいほど電力大）』と整理すると暗算で大小が分かります。本問の並列部 R2(4 Ω)\displaystyle R_{2}(4\,\mathrm{\Omega }) と R3(8 Ω)\displaystyle R_{3}(8\,\mathrm{\Omega }) では、電圧が同じなので抵抗の小さい R2\displaystyle R_{2} のほうが電力が大きく P2>P3\displaystyle P_{2}>P_{3}。これは分流の考え方とも一致し、並列では小さい抵抗ほど多くの電流が流れ（分流則 I2:I3=R3:R2\displaystyle I_{2}:I_{3}=R_{3}:R_{2} =8:4=2:1\displaystyle =8:4=2:1）、電力 P=I2R\displaystyle P=I^{2}R もそれを反映します。さらに直列の R1\displaystyle R_{1} には全電流(=I2+I3)\displaystyle (=I_{2}+I_{3})が流れるため、その電力 P1\displaystyle P_{1} が単独で最大になりやすい点も着眼点です。並列合成抵抗は『和分の積』R2R3R2+R3\displaystyle \frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}} で素早く求め、二本なら『小さいほうより必ず小さくなる』ことを確認に使えます。
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