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理論

電験三種 令和7年度下期 理論 問2

問題・正答・学習用解説

問題

図のように，真空中の3m離れた2点A，Bにそれぞれ 3×10⁻⁷ C の正の点電荷がある。A点とB点とを結ぶ線分上のA点から1m離れたP点に Q [C]の正の点電荷を置いたとき，その点電荷にB点の方向に 5×10⁻³ N の力が働いた。この点電荷 Q の値[C]として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，真空中の誘電率を ε0\displaystyle \varepsilon_{0}=8.85×10⁻¹² F/m とする。問2の図1

選択肢

  1. （1）
    1.2×10⁻⁹
  2. （2）
    1.8×10⁻⁸
  3. （3）
    2.5×10⁻⁶
  4. （4）
    4.4×10⁻⁵
  5. （5）
    7.3×10⁻⁵

正答と解説

正答：（3）

正答の考え方

正解は(3)です。まず配置を整理すると、A点とB点は 3 m 離れ、P点はA点から 1 m の位置にあるので、P点はB点からは 3−1=2m\displaystyle 3-1=2 \mathrm{m} の位置です。A、Bの電荷（ともに正で 3×10−7 C\displaystyle 3\times10^{-7}\,\mathrm{C}）はP点の正電荷 Q（正）をいずれも反発させます。A の電荷は Q をB方向（右向き）へ、B の電荷は Q をA方向（左向き）へ押すので、両者は逆向きで合力はその差になります。クーロンの法則 F=k\displaystyle F=k ⋅q1q2r2(k=14πε0≃8.99×109N⋅m2/C2)\displaystyle \cdot \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\simeq 8.99\times10^{9}\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}})より、A から受ける力 FA=k⋅(3×10−7)⋅Q12\displaystyle F_{\mathrm{A}}=k\cdot (3\times10^{-7})\cdot \frac{Q}{1^{2}}、B から受ける力 FB=k⋅(3×10−7)⋅Q22\displaystyle F_{\mathrm{B}}=k\cdot (3\times10^{-7})\cdot \frac{Q}{2^{2}}。B方向への合力は F=FA−FB=k⋅(3×10−7)⋅Q\displaystyle F=F_{\mathrm{A}}-F_{\mathrm{B}}=k\cdot (3\times10^{-7})\cdot Q ⋅(112−122)\displaystyle \cdot (\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}) =k⋅(3×10−7)⋅Q⋅(1−0.25)\displaystyle =k\cdot (3\times10^{-7})\cdot Q\cdot (1-0.25) =k⋅(3×10−7)⋅Q⋅0.75\displaystyle =k\cdot (3\times10^{-7})\cdot Q\cdot 0.75。これが 5×10−3N\displaystyle 5\times10^{-3}N に等しいので、Q=5×10−38.99×109×3×10−7×0.75\displaystyle Q=\frac{5\times10^{-3}}{8.99\times10^{9}\times 3\times10^{-7}\times 0.75} =5×10−32.02×103\displaystyle =\frac{5\times10^{-3}}{2.02\times10^{3}} ≃2.47×10−6≃2.5×10−6 C\displaystyle \simeq 2.47\times10^{-6}\simeq 2.5\times10^{-6}\,\mathrm{C} となります。

各選択肢の解説

選択肢1

1.2×10−9 C\displaystyle 1.2\times10^{-9}\,\mathrm{C} は桁が小さすぎます。合力 5×10−3N(=5mN)\displaystyle 5\times10^{-3}N(=5mN)はかなり大きな力で、これを生むには Q が約 2.5×10−6 C\displaystyle 2.5\times10^{-6}\,\mathrm{C} 必要です。1.2×10−9\displaystyle 1.2\times10^{-9} は係数や桁を取り違えた誤答です。

選択肢2

1.8×10−8 C\displaystyle 1.8\times10^{-8}\,\mathrm{C} も桁が小さく誤りです。距離の二乗（1 m と 2 m）と係数 34\displaystyle \frac{3}{4} を正しく用いると Q≃2.5×10−6 C\displaystyle Q\simeq 2.5\times10^{-6}\,\mathrm{C} になります。

選択肢4

二つの力は反対向きなので，合力はk(3×10−7)Q(112−122)\displaystyle k(3\times10^{-7})Q(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}})です。これを5×10−3N\displaystyle 5\times10^{-3}Nに等しくするとQ≃2.5×10−6 C\displaystyle Q\simeq 2.5\times10^{-6}\,\mathrm{C}となります。4.4×10−5 C\displaystyle 4.4\times10^{-5}\,\mathrm{C}では合力が約0.089 Nになり，指定値より大きすぎます。

選択肢5

7.3×10−5 C\displaystyle 7.3\times10^{-5}\,\mathrm{C} は誤りです。係数 (112−122)=34\displaystyle (\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}})=\frac{3}{4} を無視し、距離も誤って扱うとこのような過大な値になります。正しい合力の係数 34\displaystyle \frac{3}{4} を用いれば Q≃2.5×10−6 C\displaystyle Q\simeq 2.5\times10^{-6}\,\mathrm{C} です。

周辺知識

クーロンの法則 F=k⋅q1q2r2\displaystyle F=k\cdot \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} は静電気分野の最重要式です。比例定数は k=14πε0≃9×109N⋅m2/C2\displaystyle k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\simeq 9\times10^{9}\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} で、この概数を覚えておくと計算が速くなります。力はベクトル量なので、複数の電荷から受ける力は『向きを考えて』合成します。同符号どうしは反発、異符号どうしは吸引です。本問のポイントは、P点の左右にある二つの正電荷が Q を逆向きに押すため、合力が引き算になること。距離が 1 m と 2 m で、力は距離の二乗に反比例するため近い A の影響（係数 1）が遠い B（係数 14\displaystyle \frac{1}{4}）よりずっと大きく、合力は B 方向（A から遠ざかる向き）になります。112−122=34\displaystyle \frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}=\frac{3}{4} という係数を素早く出せるかが計算の鍵で、ここを 11−12=12\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} などと距離の二乗を忘れると誤答します。誘電率 ε0=8.85×10−12F/m\displaystyle \varepsilon _{0}=8.85\times10^{-12}\mathrm{F/m} から k を作る場合、k=14π×8.85×10−12\displaystyle k=\frac{1}{4\pi \times 8.85\times10^{-12}} ≃8.99×109\displaystyle \simeq 8.99\times10^{9} となります。
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