理論
電験三種 令和7年度下期 理論 問1 問題・正答・学習用解説
問題 真空中において，一辺 l [m]の正方形電極を間隔 d [m]で配置した平行板コンデンサがある。図1はこのコンデンサの電極板間に比誘電率 ε r \displaystyle \varepsilon_{\mathrm{r}} ε r =5 の誘電体を挿入した状態，図2は図1の誘電体を電極面積の 1 2 \displaystyle \frac{1}{2} 2 1 だけ引き出した状態を示している。図1及び図2の二つのコンデンサの静電容量 C 1 \displaystyle C_{1} C 1 [F]及び C 2 \displaystyle C_{2} C 2 [F]の比（ C 1 \displaystyle C_{1} C 1 : C 2 \displaystyle C_{2} C 2 ）として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。 ただし，l ≫ d であり，コンデンサの端効果は無視できるものとする。 選択肢 （1） 2 : 1
（2） 3 : 2
（3） 5 : 2
（4） 5 : 3
（5） 5 : 4
正答と解説 正答：（4）
正答の考え方 正解は(4)です。平行板コンデンサの静電容量は C = ε 0 ⋅ ε r ⋅ S d \displaystyle C=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{\mathrm{r}}\cdot \frac{S}{d} C = ε 0 ⋅ ε r ⋅ d S （S は誘電体が占める電極面積）で求めます。図1は一辺 l の正方形電極全面 ( 面積 S = l 2 ) \displaystyle (\text{面積}S=l^{2}) ( 面積 S = l 2 ) に比誘電率 ε r = 5 \displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}}=5 ε r = 5 の誘電体が満たされているので、 C 1 = ε r ⋅ ε 0 ⋅ l 2 d \displaystyle C_{1}=\varepsilon _{\mathrm{r}}\cdot \varepsilon _{0}\cdot \frac{l^{2}}{d} C 1 = ε r ⋅ ε 0 ⋅ d l 2 = 5 ε 0 l 2 d \displaystyle =\frac{5\varepsilon _{0}l^{2}}{d} = d 5 ε 0 l 2 です。図2は誘電体を面積の半分だけ引き出した状態で、電極面積の右半分 ( 面積 l 2 2 ) \displaystyle (\frac{\text{面積}l^{2}}{2}) ( 2 面積 l 2 ) が誘電体 ( ε r = 5 ) \displaystyle (\varepsilon _{\mathrm{r}}=5) ( ε r = 5 ) 、左半分 ( 面積 l 2 2 ) \displaystyle (\frac{\text{面積}l^{2}}{2}) ( 2 面積 l 2 ) が真空 ( ε r = 1 ) \displaystyle (\varepsilon _{\mathrm{r}}=1) ( ε r = 1 ) になっています。重要なのは、この二つの部分は上下の極板を共有し、それぞれが独立した電界をもつ別々のコンデンサが横に並んだ「並列接続」とみなせる点です。真空部の容量は C 真空 = ε 0 ⋅ l 2 2 d \displaystyle C_{\text{真空}}=\varepsilon _{0}\cdot \frac{\frac{l^{2}}{2}}{d} C 真空 = ε 0 ⋅ d 2 l 2 、誘電体部の容量は C 誘電体 = 5 ε 0 ⋅ l 2 2 d \displaystyle C_{\text{誘電体}}=5\varepsilon _{0}\cdot \frac{\frac{l^{2}}{2}}{d} C 誘電体 = 5 ε 0 ⋅ d 2 l 2 なので、並列合成は C 2 = ε 0 ( l 2 2 ) d + 5 ε 0 ( l 2 2 ) d \displaystyle C_{2}=\frac{\varepsilon _{0}(\frac{l^{2}}{2})}{d}+\frac{5\varepsilon _{0}(\frac{l^{2}}{2})}{d} C 2 = d ε 0 ( 2 l 2 ) + d 5 ε 0 ( 2 l 2 ) = ( ε 0 l 2 2 d ) ( 1 + 5 ) \displaystyle =(\frac{\varepsilon _{0}l^{2}}{2d})(1+5) = ( 2 d ε 0 l 2 ) ( 1 + 5 ) = 3 ε 0 l 2 d \displaystyle =\frac{3\varepsilon _{0}l^{2}}{d} = d 3 ε 0 l 2 となります。したがって C 1 : C 2 = 5 ε 0 l 2 d : 3 ε 0 l 2 d \displaystyle C_{1}:C_{2}=\frac{5\varepsilon _{0}l^{2}}{d}:\frac{3\varepsilon _{0}l^{2}}{d} C 1 : C 2 = d 5 ε 0 l 2 : d 3 ε 0 l 2 = 5 : 3 \displaystyle =5:3 = 5 : 3 です。 各選択肢の解説 選択肢1 2: 1 ( = 10 \displaystyle 1(=10 1 ( = 10 :5）は容量比の計算が誤っています。図2を「容量が半分になる」と早合点するとこの比に近づきますが、実際は真空部 ( ε 0 l 2 2 d ) \displaystyle (\frac{\varepsilon _{0}l^{2}}{2d}) ( 2 d ε 0 l 2 ) と誘電体部 ( 5 ε 0 l 2 2 d ) \displaystyle (\frac{5\varepsilon _{0}l^{2}}{2d}) ( 2 d 5 ε 0 l 2 ) の並列和で C 2 = 3 ε 0 l 2 d \displaystyle C_{2}=\frac{3\varepsilon _{0}l^{2}}{d} C 2 = d 3 ε 0 l 2 となり、 C 1 : C 2 = 5 : 3 \displaystyle C_{1}:C_{2}=5:3 C 1 : C 2 = 5 : 3 です。 選択肢2 3:2 は誤りです。比誘電率 ε r = 5 \displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}}=5 ε r = 5 を正しく用いると、 C 2 = ( 1 + 5 ) ε 0 l 2 2 d \displaystyle C_{2}=\frac{(1+5)\varepsilon _{0}l^{2}}{2d} C 2 = 2 d ( 1 + 5 ) ε 0 l 2 = 3 ε 0 l 2 d \displaystyle =\frac{3\varepsilon _{0}l^{2}}{d} = d 3 ε 0 l 2 、 C 1 = 5 ε 0 l 2 d \displaystyle C_{1}=\frac{5\varepsilon _{0}l^{2}}{d} C 1 = d 5 ε 0 l 2 なので 5:3 になります。3:2 は ε r \displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}} ε r の値を取り違えた場合などに出る比です。 選択肢3 図2の容量は，真空部の 0.5 ε 0 l 2 d \displaystyle \frac{0.5\varepsilon _{0}l^{2}}{d} d 0.5 ε 0 l 2 と誘電体部の 2.5 ε 0 l 2 d \displaystyle \frac{2.5\varepsilon _{0}l^{2}}{d} d 2.5 ε 0 l 2 の和， 3 ε 0 l 2 d \displaystyle \frac{3\varepsilon _{0}l^{2}}{d} d 3 ε 0 l 2 です。図1は 5 ε 0 l 2 d \displaystyle \frac{5\varepsilon _{0}l^{2}}{d} d 5 ε 0 l 2 なので，比は5:3となります。5:2は真空部を含めた並列合成の結果と一致しません。 選択肢5 5:4 は誤りです。並列合成を C 2 = ( 1 + 5 ) ε 0 l 2 2 d \displaystyle C_{2}=\frac{(1+5)\varepsilon _{0}l^{2}}{2d} C 2 = 2 d ( 1 + 5 ) ε 0 l 2 = 3 ε 0 l 2 d \displaystyle =\frac{3\varepsilon _{0}l^{2}}{d} = d 3 ε 0 l 2 と正しく計算すれば 5:3 となります。5:4 は係数 1 + 5 2 = 3 \displaystyle \frac{1+5}{2}=3 2 1 + 5 = 3 を別の値に取り違えた誤答です。 周辺知識 平行板コンデンサの容量 C = ε S d \displaystyle C=\frac{\varepsilon S}{d} C = d εS は、面積 S に比例し間隔 d に反比例します。誘電体の入れ方で合成方法が変わる点が頻出のひっかけです。今回のように誘電体を「面積方向に分割」して横に並べる場合は、各部分の電界が独立なので並列接続（容量は単純な和）になります。一方、誘電体を「厚さ方向に重ねる（積層）」場合は、同じ電束密度が各層を貫くので直列接続（容量の逆数の和）になります。見分け方の着眼点は『電極面に平行な境界＝直列、電極面に垂直な境界＝並列』です。並列では容量が増え、直列では減ります。本問は ε r = 5 \displaystyle \varepsilon _{\mathrm{r}}=5 ε r = 5 の誘電体を半分残しただけで容量が 5 から 3 へ減りますが、もし厚さを半分にして積層していれば全く別の値になります。εの大きい誘電体を入れるほど容量が増えるのは、誘電体内で分極が起き電界が弱められて同じ電圧でより多くの電荷を蓄えられるためです。 次の問題（問2）→ 出典と解説について 出題・正答の公表元：電気技術者試験センター。公式の試験問題・正答公表ページ
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