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機械

電験三種 令和7年度下期 機械 問18(a)

問題・正答・学習用解説

問題

図に示すように，フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において，T=0.2s，K=10としたとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す。（図のように，入力R(jω)から減算点を経て要素1jωT\displaystyle \frac{1}{j\omega T}に入り，その出力を取出し点で分岐して負帰還するとともに，要素Kを通して出力C(jω)となる。）(a) 入力をR(jω)，出力をC(jω)とする全体の周波数伝達関数W(jω)として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。問18(a)の図1問18(a)の選択肢の図表

選択肢

  1. （1）
    (1)
  2. （2）
    (2)
  3. （3）
    (3)
  4. （4）
    (4)
  5. （5）
    (5)

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

正解は(2)101+j0.2ω\displaystyle \frac{10}{1+j_{0}.2\omega}です。要素 1jωT\displaystyle \frac{1}{j \omega T} の出力を X とします。図ではこの X が取出し点で分岐して負帰還されるので，減算点の出力（誤差）は R−X となり，これが 1jωT\displaystyle \frac{1}{j \omega T} に入って X になります。すなわち X=R−XjωT\displaystyle X=\frac{R-X}{j \omega T}。両辺に jωT を掛けて jωT⋅X=R−X\displaystyle j\omega T\cdot X=R-X，X(1+jωT)=R\displaystyle X(1+j\omega T)=R，よって X=R1+jωT\displaystyle X=\frac{R}{1+j \omega T}。出力は X に要素 K を通したものなので C=K⋅X\displaystyle C=K\cdot X =KR1+jωT\displaystyle =\frac{K R}{1+j \omega T}。したがって全体の周波数伝達関数は W=CR\displaystyle W=\frac{C}{R} =K1+jωT\displaystyle =\frac{K}{1+j \omega T}。T=0.2s\displaystyle T=0.2 s，K=10\displaystyle K=10 を代入して W(jω)=101+j0.2ω\displaystyle W (j \omega )=\frac{10}{1+j 0.2 \omega } となります。よって(2)が正しい。

各選択肢の解説

選択肢1

11+j0.2ω\displaystyle \frac{1}{1+j 0.2 \omega }は出力側のゲイン K=10\displaystyle K=10 を掛け忘れた値です。出力 C=K⋅X\displaystyle C=K\cdot X なので分子に K が必要で，正しくは101+j0.2ω\displaystyle \frac{10}{1+j 0.2 \omega }です。

選択肢3

11+j5ω\displaystyle \frac{1}{1+j 5 \omega }は時定数 T=0.2\displaystyle T=0.2 の逆数 5 を T として用いてしまい（jωT=j5ω\displaystyle j\omega T=j_{5}\omega としている），さらにゲイン K も欠落しています。正しくは T=0.2\displaystyle T=0.2 で jωT=j0.2ω\displaystyle j\omega T=j_{0}.2\omega，分子は10です。

選択肢4

50ω1+j5ω\displaystyle \frac{50 \omega }{1+j 5 \omega }は分子に ω が現れる微分的な形で，閉ループ伝達関数の導出を誤った値です。正しい形は分子が定数10の一次遅れ K1+jωT\displaystyle \frac{K}{1+j \omega T}です。

選択肢5

j2ω1+j0.2ω\displaystyle \frac{j 2 \omega }{1+j 0.2 \omega }は分子が jω に比例する微分要素（高域でゲインが増す特性）で，低域で一定ゲイン・高域で減衰する本系の一次遅れ特性とは一致しません。

周辺知識

この系は積分要素 1jωT\displaystyle \frac{1}{j \omega T} を単位負帰還で囲んだ構成で，閉ループにすると一次遅れ要素 K1+jωT\displaystyle \frac{K}{1+j \omega T} になる典型例です。負帰還系の閉ループ伝達関数は『前向き伝達関数G1+一巡伝達関数GH\displaystyle \frac{\text{前向き伝達関数} G}{1+\text{一巡伝達関数} G H}』で求め，本問は前向きに 1jωT\displaystyle \frac{1}{j \omega T}、帰還 H=1\displaystyle H=1 なので {1jωT}{1+1jωT}=11+jωT\displaystyle \frac{\{\frac{1}{j \omega T}\}}{\{1+\frac{1}{j \omega T}\}}=\frac{1}{1+j \omega T} となり，これに出力側の K が掛かって K1+jωT\displaystyle \frac{K}{1+j \omega T} です。一次遅れ要素 K1+jωT\displaystyle \frac{K}{1+j \omega T} は，直流（ω→0）でゲイン K（一定），時定数 T を持ち，折れ点角周波数 ω=1T\displaystyle \omega =\frac{1}{T} で利得が −3 dB 下がり始め，高域では位相が −90°に近づき利得が −20 dB/dec で低下します。積分器（裸では位相 −90°，無限大の直流利得）を負帰還で囲むと有限利得・安定な一次遅れになる，というのは制御工学の基本的な安定化のしくみで，速度制御ループなどで頻出します。導出の際は『帰還がどの信号からとられているか（本問は K を通す前の X から）』を図でしっかり確認することが肝心で，これを取出し点の位置で取り違えると分母や分子が変わってしまいます。(b)ではこの W のゲイン特性をボード線図で問うので，直流ゲイン20log⁡10K\displaystyle 20 \log _{10} K と折れ点 ω=1T\displaystyle \omega =\frac{1}{T} をセットで押さえます。
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