資格ナビ電験三種の演習へ

機械

電験三種 令和7年度下期 機械 問17(b)

問題・正答・学習用解説

問題

管径36mmの完全拡散性無限長直線光源を床面上3mの高さに床面と平行に配置した。光源からは単位長当たり3000lm/mの光束を一様に発散しているものとして，次の(a)及び(b)に答えよ。(b) 光源直下の床面の水平面照度Eh\displaystyle E_{h}[lx]の値として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

選択肢

  1. （1）
    333
  2. （2）
    318
  3. （3）
    239
  4. （4）
    159
  5. （5）
    80

正答と解説

正答：（4）

正答の考え方

正解は(4)159です。まず完全拡散面なので輝度は L=Mπ\displaystyle L=\frac{M}{\pi } =26.5×103π\displaystyle =\frac{26.5\times 10^{3}}{\pi } ≃8.44×103\displaystyle \simeq 8.44\times 10^{3} cd/m² です。無限長の直線（線状）光源の直下の水平面照度は，光源上の各微小部分からの寄与を線方向に積分して求められ，結果として Eh=πLd2h\displaystyle E_{h}=\frac{\pi L d}{2 h} =Md2h\displaystyle =\frac{M d}{2 h} という形になります（M=πL\displaystyle M=\pi{}L を使うと L と π が消えて M で表せる）。ここで直径 d=0.036m\displaystyle d=0.036 \mathrm{m}，高さ h=3m\displaystyle h=3 \mathrm{m} なので，Eh=M⋅d2h\displaystyle E_{h}=\frac{M\cdot d}{2 h} =26.5×103×0.0362×3\displaystyle =\frac{26.5\times 10^{3}\times 0.036}{2\times 3} =26.5×103×0.0366\displaystyle =\frac{26.5\times 10^{3}\times 0.036}{6} =9546\displaystyle =\frac{954}{6} ≃159lx\displaystyle \simeq 159 l x となります。よって(4)159 lx が最も近い値です。

各選択肢の解説

選択肢1

333 lxは積分係数や高さの扱いを誤って約2倍にした値です。無限長線光源直下の照度は Eh=Md2h\displaystyle E_{h}=\frac{M d}{2 h} で，分母の2h(=6)\displaystyle 2h(=6)を正しく使うと約159 lxになります。

選択肢2

318lxはMdh\displaystyle \frac{M d}{h}として、線光源の積分から得られる係数12\displaystyle \frac{1}{2}を落とした値です。正しくはEh=Md2h\displaystyle E_{h}=\frac{M d}{2 h} ={3000πd}d2×3\displaystyle =\frac{\{\frac{3000}{\pi d}\} d}{2\times 3} =500π\displaystyle =\frac{500}{\pi } ≃159lx\displaystyle \simeq 159 l xになります。

選択肢3

239 lxは積分から得られる係数(12h)\displaystyle (\frac{1}{2 h})の取り方を誤った中間値で，正しくは Md2h≃159lx\displaystyle \frac{M d}{2 h}\simeq 159 l xです。

選択肢5

80 lxは係数を半分に誤る（たとえば分母を4hとする）などした値で，正しい Eh=Md2h\displaystyle E_{h}=\frac{M d}{2 h} ≃159lx\displaystyle \simeq 159 l xの約半分です。

周辺知識

完全拡散面の光束発散度Mと輝度LにはM=πL\displaystyle M=\pi{}Lの関係があります。本問の細い円筒光源を長さdyの微小部分に分け、直下点から線方向にy離れた部分までの距離をr=h2+y2\displaystyle r=\sqrt{h^{2}+y^{2}}とします。その部分の見かけの投影面積はd⋅dy⋅hr\displaystyle \frac{d\cdot d y\cdot h}{r}、床面への入射角余弦もhr\displaystyle \frac{h}{r}です。したがって微小照度はdE=Ld⋅h2dy(h2+y2)2\displaystyle d E=\frac{L d\cdot h^{2} d y}{(h^{2}+y^{2})^{2}}となります。
これをy=−\displaystyle y=-∞から＋∞まで積分すると、Eh=πLd2h\displaystyle E_{h}=\frac{\pi L d}{2 h} =Md2h\displaystyle =\frac{M d}{2 h}です。点ごとの寄与には距離の逆2乗が含まれていますが、無限に長い線全体を足し合わせた直下照度は高さの1乗に反比例します。本問はM=3000πd\displaystyle M=\frac{3000}{\pi d}、h=3m\displaystyle h=3mなのでEh=30002π×3\displaystyle E_{h}=\frac{3000}{2 \pi \times 3} ≃159lx\displaystyle \simeq 159 l xです。Mdh\displaystyle \frac{M d}{h}とすると積分係数12\displaystyle \frac{1}{2}を落として318lxになってしまいます。有限長の光源を遠くから見る場合などは条件が異なるため、この無限長の式をそのまま使わないようにします。
この年度・科目を演習する問題一覧に戻る