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機械

電験三種 令和7年度下期 機械 問18(b)

問題・正答・学習用解説

問題

図に示すように，フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において，T=0.2s，K=10としたとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す。(b) 次のボード線図には，正確なゲイン特性を実線で，その折線近似ゲイン特性を破線で示し，横軸には特に折れ点角周波数の数値を示している。上記(a)の周波数伝達関数W(jω)のボード線図のゲイン特性として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，横軸は角周波数ωの対数軸であり，−20[dB/dec]とは，ωが10倍大きくなるに従って|W(jω)|が−20dB変化する傾きを表している。問18(b)の図1問18(b)の選択肢の図表

選択肢

  1. （1）
    (1)
  2. （2）
    (2)
  3. （3）
    (3)
  4. （4）
    (4)
  5. （5）
    (5)

正答と解説

正答：（2）

正答の考え方

正解は(2)です。(a)より W(jω)=101+j0.2ω\displaystyle W (j \omega )=\frac{10}{1+j 0.2 \omega } で，これは一次遅れ要素 K1+jωT\displaystyle \frac{K}{1+j \omega T}（K=10\displaystyle K=10，T=0.2s)\displaystyle T=0.2 s)です。直流（低域，ω→0）のゲインは |W|＝K=10\displaystyle K=10 で一定なので，デシベル表示では 20log⁡1010=20dB\displaystyle 20 \log _{10} 10=20 d B の水平線になります。折れ点角周波数は分母の虚部が1になるところ，すなわち 0.2ω=1\displaystyle 0.2\omega=1 より ω=1T\displaystyle \omega =\frac{1}{T} =10.2\displaystyle =\frac{1}{0.2} =5\displaystyle =5 rad/s です。この折れ点を境に，ω＞5 では分母の |1＋j0.2ω| がほぼ 0.2ω に比例して増えるため，利得は −20 dB/dec の傾きで低下します。したがってボード線図のゲイン特性は『低域で20 dB一定，ω＝5 rad/s で折れ曲がり，高域で−20 dB/decの傾き』となり，これに合致する(2)が正しい。

各選択肢の解説

選択肢1

(1)は折れ点角周波数を0.2 rad/sとしています。折れ点は ω=1T\displaystyle \omega =\frac{1}{T} =10.2\displaystyle =\frac{1}{0.2} =5\displaystyle =5 rad/s なので，0.2 rad/s（T の値そのものを折れ点と取り違えた）は誤りです。

選択肢3

(3)は低域ゲインが0dB(K=1\displaystyle 0 dB(K=1相当）になっています。K=10\displaystyle K=10なので低域ゲインは20log⁡1010=20dB\displaystyle 20 \log _{10} 10=20 d Bでなければならず，0 dBは誤りです。

選択肢4

(4)は折れ点5 rad/sは正しいものの，低域ゲインが0 dBになっており K＝10 の20 dBになっていません。直流利得が誤りです。

選択肢5

(5)は低域ゲインが0 dBで折れ点も0.5 rad/sとなっており，ゲイン（20 dBであるべき）と折れ点（5 rad/sであるべき）の両方が誤りです。

周辺知識

ボード線図はゲイン特性（縦軸 20log⁡10∣W∣\displaystyle 20 \log _{10} |W| [dB]，横軸 ω の対数）と位相特性を別々に描いたもので，伝達関数の周波数応答を直感的に読めます。一次遅れ系 K1+jωT\displaystyle \frac{K}{1+j \omega T} の折線近似は，(1)低域：20log⁡10K\displaystyle 20 \log _{10} K [dB]の水平線，(2)折れ点 ωc=1T\displaystyle \omega _{c}=\frac{1}{T}：ここで折れ曲がる，(3)高域：−20 dB/dec（10倍の周波数ごとに20 dB低下）の直線，という三要素で決まります。位相は低域0°，折れ点で−45°，高域−90°に漸近します。注意点として，折れ点での正確なゲインは折線近似より約3 dB低い（∣1+j1∣=2\displaystyle |1+j 1|=\sqrt{2} ゆえ −20log⁡2≃−3dB\displaystyle -20 \log \sqrt{2}\simeq -3 d B）ことが知られ，問題図で実線（正確）と破線（折線近似）が折れ点付近で約3 dBずれて描かれるのはこのためです。本問の判別ポイントは二つ，『低域ゲインが20dB(K=10\displaystyle 20 dB(K=10だから20log10=20)\displaystyle 20log10=20)になっているか』と『折れ点が ω=1T\displaystyle \omega =\frac{1}{T} =5\displaystyle =5 rad/s か』で，選択肢にはこれらを0 dB（K＝1相当）にしたものや折れ点を0.2や0.5にしたものが並ぶので，K と T からこの2値を出して図と照合します。デシベル換算は『10倍＝20 dB，10\displaystyle \sqrt{10}倍≒10 dB，2倍≒6 dB，2\displaystyle \sqrt{2}倍≒3 dB』を覚えておくと素早く判断できます。
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