機械

電験三種令和7年度下期機械問17(a)

問題・正答・学習用解説

問題

管径36mmの完全拡散性無限長直線光源を床面上3mの高さに床面と平行に配置した。光源からは単位長当たり3000lm/mの光束を一様に発散しているものとして，次の(a)及び(b)に答えよ。(a) 直線光源の光束発散度M[lm/m²]の値として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

選択肢

（1）
83.3×10³
（2）
4.2×10³
（3）
8.4×10³
（4）
26.5×10³
（5）
74.7×10³

正答と解説

正答：（4）

正答の考え方

正解は

\displaystyle (4) 26.5\times 10^{3}

です。光束発散度 M は，光を発する面の単位面積当たりに出ていく光束（lm/m²）です。光源は直径 d＝36 mm＝0.036 m の円筒（管）形で，その側面から光が出ます。単位長さ（1 m）当たりの側面積は円周×長さ

\displaystyle =\pi d\times 1

\displaystyle =\pi \times 0.036

\displaystyle \simeq 0.1131 m^{2}

（単位長当たり 0.1131 m²/m）。一方，単位長当たりに発散する光束は 3000 lm/m と与えられているので，光束発散度は M＝単位長当たり光束単位長当たり表面積

\displaystyle =\frac{3000}{0.1131}

\displaystyle \simeq 26.5\times 10^{3}

lm/m² となります。よって

\displaystyle (4) 26.5\times 10^{3}

lm/m² が最も近い値です。

各選択肢の解説

選択肢1

\displaystyle 83.3\times 10^{3}

は表面積に円周πdではなく別の量（たとえば直径dそのもの

\displaystyle \frac{3000}{0.036}=83.3\times 10^{3}

）を用いた誤りです。発光面積は管の側面なので円周

\displaystyle \pi d=0.1131 m^{2}

を使います。

選択肢2

\displaystyle 4.2\times 10^{3}

は表面積の取り方を誤った値（過大な面積で割った）で，正しくは

\displaystyle \frac{3000}{\pi d}\simeq 26.5\times 10^{3}

lm/m²です。

選択肢3

\displaystyle 8.4\times 10^{3}

は光束発散度Mをさらにπで割った

\displaystyle \frac{M}{\pi }

に近く、完全拡散面の輝度Lの数値です。求めるのはlm/m²で表す光束発散度なので、

\displaystyle M=\frac{3000}{\pi \times 0.036}

\displaystyle \simeq 26.5\times 10^{3}

lm/m²です。輝度Lの単位はcd/m²で、両者を区別します。

選択肢5

\displaystyle 74.7\times 10^{3}

は表面積を過小に見積もった（たとえばπの扱いや桁を誤った）場合の値で，正しくは約

\displaystyle 26.5\times 10^{3}

lm/m²です。

周辺知識

照明工学の測光量は，光束Φ[lm]（光の量），光度I[cd]

\displaystyle =\frac{\Phi }{\omega }

（点光源から単位立体角あたり），照度E[lx]

\displaystyle =\frac{\Phi }{A}

（受照面の単位面積に入る光束），輝度L[cd/m²]

\displaystyle =\frac{I}{\text{見かけの面積}}

（光源・面の明るさ感），光束発散度M[lm/m²]

\displaystyle =\frac{\Phi }{A}

（面光源の単位面積から出ていく光束）と整理できます。光束発散度は『面から出ていく』，照度は『面に入ってくる』という向きの違いがあり単位は同じ lm/m²（lx と等価）です。完全拡散面（ランバート面：どの方向から見ても輝度が一定）では，光束発散度と輝度の間に M＝πL という重要な関係が成り立ちます（半球全方向へ放射した結果の係数π）。本問の管（円筒）光源では，発光面積は側面なので単位長当たり πd（円周）を使うのがポイントで，断面積

\displaystyle \frac{\pi d^{2}}{4}

や直径 d そのものと取り違えないことが要点です。(b)へ続く照度計算では，この M（または

\displaystyle L=\frac{M}{\pi }

）を使い，無限長線光源からの照度を積分で求めます。LED蛍光灯型ランプや拡散カバー付き直管光源など実際の線状光源を扱う際の基礎で，まず M を表面積から求め，必要なら

\displaystyle L=\frac{M}{\pi }

へ変換する，という流れを覚えておくとよいです。

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