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機械

電験三種 令和7年度下期 機械 問13

問題・正答・学習用解説

問題

図のブロック線図で示す制御系において，R(jω) と C(jω) 間の合成周波数伝達関数 C(jω)R(jω)\displaystyle \frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} を示す式として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。問13の図1問13の選択肢の図表

選択肢

  1. （1）
    (1)
  2. （2）
    (2)
  3. （3）
    (3)
  4. （4）
    (4)
  5. （5）
    (5)

正答と解説

正答：（3）

正答の考え方

正解は(3)です。第1加算点の出力（誤差信号）を e とおきます。図ではこの e が G1\displaystyle G_{1} と G2\displaystyle G_{2} の両方に共通に入り，第2加算点でそれらの出力を差し引いて C＝G1\displaystyle G_{1}·e−G2\displaystyle G_{2}·e=(\displaystyle e=(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})e となります。一方，出力 C は G3\displaystyle G_{3} を通って第1加算点へ負帰還されるので e=R−\displaystyle e=R-G3\displaystyle G_{3}·C です。これを代入すると C=(\displaystyle C=(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})(R−G3\displaystyle G_{3}·C)。展開して C＋(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})G3\displaystyle G_{3}·C=(\displaystyle C=(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})R，すなわち C{1＋(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})G3\displaystyle G_{3}}＝(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})R。したがって閉ループ伝達関数は CR=G1−G2{1+G1G3−G2G3}\displaystyle \frac{C}{R}=\frac{G_{1}-G_{2}}{\{1+G_{1} G_{3}-G_{2} G_{3}\}} となります。前向き要素が(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})，分母が1にループ要素 G1\displaystyle G_{1} G3\displaystyle G_{3}−G2\displaystyle G_{2} G3\displaystyle G_{3} を加えた形になる(3)が正しい。

各選択肢の解説

選択肢1

前向き経路を G1\displaystyle G_{1} のみ（または G1\displaystyle G_{1} G3\displaystyle G_{3} など）とし分母を 1＋G1\displaystyle G_{1} G2\displaystyle G_{2} G3\displaystyle G_{3} とする形で，前向き経路が(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})で分母が1＋G1\displaystyle G_{1} G3\displaystyle G_{3}−G2\displaystyle G_{2} G3\displaystyle G_{3}になる本系とは一致しません。2本の前向き経路の差を取り込めていません。

選択肢2

前向き経路を G1\displaystyle G_{1} G2\displaystyle G_{2}，分母を 1＋G1\displaystyle G_{1} G2\displaystyle G_{2} G3\displaystyle G_{3} とする縦続接続のような形ですが，本系は G1\displaystyle G_{1} と G2\displaystyle G_{2} が並列に入って差し引かれる構成なので前向きは積 G1\displaystyle G_{1} G2\displaystyle G_{2} ではなく差(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})です。

選択肢4

分子を(G1\displaystyle G_{1}＋G2\displaystyle G_{2}＋G1\displaystyle G_{1} G2\displaystyle G_{2})などとする形で，第2加算点が差(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})をとる本系の符号関係と合いません。加算点の符号から分子は(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})になります。

選択肢5

分子を G1\displaystyle G_{1} 単独としていますが，出力 C は G1\displaystyle G_{1}·e と G2\displaystyle G_{2}·e の差なので分子は(G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2})でなければならず誤りです。

周辺知識

ブロック線図の縮約は，原則『前向き経路（順方向の伝達の積）÷(1+一巡伝達関数)\displaystyle \div (1+\text{一巡伝達関数})』で求めます。一巡伝達関数とはループを一周したときの伝達の積で，帰還が負（減算）なら＋，正（加算）なら−の符号で分母に入ります。本問のように前向き経路が2本（G1\displaystyle G_{1} と G2\displaystyle G_{2}）あって出力で差し引かれる場合は，まず信号に文字（e など）を置いて各経路の出力を素直に書き，連立して CR\displaystyle \frac{C}{R} について解くのが確実です。加算点の＋／−の符号を取り違えると分子・分母の符号が逆になり選択肢を誤るので，矢印の向きと符号を一つずつ確認することが重要です。一般の単一ループ系では CR=G1+GH\displaystyle \frac{C}{R}=\frac{G}{1+G H}（G：前向き，H：帰還要素），ここで H＝G3\displaystyle G_{3}，G＝G1\displaystyle G_{1}−G2\displaystyle G_{2} と読み替えると本問の答えと一致し，検算になります。電験ではこの種の縮約に加え，メイソンの信号流れ線図ゲイン公式（Δや経路ゲインを使う方法）まで触れることもありますが，三種では代入・連立で解く方法が確実で速いです。最終形は分子に前向き要素，分母に『1＋ループ要素』が現れる，という形を覚えておくと選択肢の絞り込みが早くなります。
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