電力

電験三種令和7年度下期電力問2

問題・正答・学習用解説

問題

水力発電所の水圧管内における単位体積当たりの水が保有している運動エネルギー[J/m³]を表す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし，水の速度は水圧管の同一断面において管路方向に均一とする。また，ρは水の密度[kg/m³]，v は水の速度[m/s]を表す。

選択肢

（1）
(1)
（2）
(2)
（3）
(3)
（4）
(4)
（5）
(5)

正答と解説

正答：（1）

正答の考え方

正解は(1)です。質量m[kg]・速度v[m/s]の物体がもつ運動エネルギーは

\displaystyle E=\left(\frac{1}{2}\right)mv^{2}\left[J\right]

です。ここで『単位体積

\displaystyle \left(1m^{3}\right)

当たり』のエネルギーを求めるので，質量mを単位体積当たりの質量すなわち密度ρ[kg/m³]に置き換えます。よって単位体積当たりの運動エネルギーは

\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)\rho v^{2}\left[\mathrm{J/m^{3}}\right]

となります。次元を確認すると，

\displaystyle \left[\mathrm{kg/m^{3}}\right]\times \left[\mathrm{m/s}\right]^{2}

\displaystyle =\frac{\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}}}{m^{3}}

\displaystyle =\left[\mathrm{J/m^{3}}\right]

となり，確かにエネルギー密度の単位[J/m³]に一致します。したがって(1)の

\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)\rho v^{2}

が正しい式です。

各選択肢の解説

選択肢2

ρを2乗したり速度vを1乗にした形は，運動エネルギーの基本式

\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)mv^{2}

の形を満たさず誤りです。単位を調べてもエネルギー密度[J/m³]にならず次元が合いません。

選択肢3

2ρv の形は係数2・速度の指数とも誤りで，運動エネルギー（速度の2乗に比例）を表していません。次元も[J/m³]に一致しません。

選択肢4

平方根を含む形は運動エネルギーの式ではありません。エネルギーは速度の2乗に比例する量であり，ルートで表されることはなく誤りです。

選択肢5

密度ρを2乗するのは誤りです。質量を単位体積当たりに置き換える操作ではρは1乗のまま現れ，速度vが2乗されるのが正しい形です。

周辺知識

この式は水力発電で最重要のベルヌーイの定理を理解する基礎です。ベルヌーイの式を単位体積当たりのエネルギーで表すと

\displaystyle p+\rho gh+\left(\frac{1}{2}\right)\rho v^{2}

\displaystyle =

一定となり，第1項が圧力（静圧），第2項が位置エネルギー（ρgh），第3項が運動エネルギーで動圧とも呼ばれます。各項の単位はいずれも[J/m³]＝[Pa]です。水圧管路では位置エネルギー（水頭）が下るにつれ運動エネルギー（流速）と圧力に変換され，最終的にノズルや水車で機械的仕事に変わります。覚え方として『運動エネルギーは速度の2乗に比例』『単位体積当たりにするときは質量m→密度ρ』の2点を押さえれば，他のエネルギー密度の式も同様に導けます。なお水を非圧縮（ρ一定）とみなせるのは低速・低圧の流れで成り立つ近似です。

この年度・科目を演習する問題一覧に戻る