機械
電験三種 令和7年度下期 機械 問2 問題・正答・学習用解説
問題 界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機がある。この電動機の電機子に 12 V の電圧を加えたところ，無負荷の状態で 3000 min⁻¹ で回転した。この電圧を維持したまま負荷を与えて，2 A の電機子電流を流したところ，損失が 3 W 発生した。このときの回転数[min⁻¹]として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。 ただし，ブラシによる電圧降下及び電機子反作用は無視できるものとし，損失は電機子巻線の銅損しか存在しないものとする。 選択肢 （1） 3 429
（2） 3 000
（3） 2 813
（4） 2 625
（5） 2 250
正答と解説 正答：（4）
正答の考え方 正解は(4)です。損失は電機子巻線の銅損だけなので，負荷時の 銅損 P c = I a 2 R a \displaystyle \text{銅損} P_{c}=I_{a}^{2} R_{a} 銅損 P c = I a 2 R a = 3 W \displaystyle =3 W = 3 W ，電機子 電流 I a = 2 A \displaystyle \text{電流} I_{a}=2 A 電流 I a = 2 A から電機子抵抗は R a = P c I a 2 \displaystyle R_{a}=\frac{P_{c}}{I_{a}^{2}} R a = I a 2 P c = 3 2 2 \displaystyle =\frac{3}{2^{2}} = 2 2 3 = 0.75 Ω \displaystyle =0.75 \Omega = 0.75Ω ，電機子抵抗による電圧降下は I a R a = 2 × 0.75 \displaystyle I_{a} R_{a}=2\times 0.75 I a R a = 2 × 0.75 = 1.5 V \displaystyle =1.5 V = 1.5 V です（ P c I a = 3 2 \displaystyle \frac{P_{c}}{I_{a}}=\frac{3}{2} I a P c = 2 3 = 1.5 V \displaystyle =1.5 V = 1.5 V と直接求めても同じ）。負荷時の逆起電力（誘導起電力）は電圧方程式 V = E + I a R a \displaystyle V=E+I_{a} R_{a} V = E + I a R a より E = V − I a R a \displaystyle E=V-I_{a} R_{a} E = V − I a R a = 12 − 1.5 \displaystyle =12-1.5 = 12 − 1.5 = 10.5 V \displaystyle =10.5 V = 10.5 V となります。界磁は永久磁石で磁束 φ が一定なので逆起電力 E = k e φ n \displaystyle E=k_{e} \varphi n E = k e φ n は回転速度 n に正比例します。無負荷時はブラシ電圧降下も電機子反作用も無視でき，電機子電流がほぼ零で電圧降下もないため E 0 ≃ V \displaystyle E_{0}\simeq V E 0 ≃ V = 12 V \displaystyle =12 V = 12 V ，このとき n 0 = 3000 \displaystyle n_{0}=3000 n 0 = 3000 min⁻¹ です。したがって n = n 0 × ( E E 0 ) \displaystyle n=n_{0}\times (\frac{E}{E_{0}}) n = n 0 × ( E 0 E ) = 3000 × ( 10.5 12 ) \displaystyle =3000\times (\frac{10.5}{12}) = 3000 × ( 12 10.5 ) = 3000 × 0.875 \displaystyle =3000\times 0.875 = 3000 × 0.875 = 2625 \displaystyle =2625 = 2625 min⁻¹ となり，(4)が最も近い値です。 各選択肢の解説 選択肢1 3429 min⁻¹ は逆起電力の比を逆数にとり n = 3000 × ( 12 10.5 ) \displaystyle n=3000\times (\frac{12}{10.5}) n = 3000 × ( 10.5 12 ) としてしまった値です。負荷をかけると逆起電力（速度）は上がらず下がるので，比は 10.5 12 \displaystyle \frac{10.5}{12} 12 10.5 （1未満）でなければならず，1を超える換算は向きが逆で誤りです。 選択肢2 3000 min⁻¹ は無負荷時とまったく同じ回転数です。2 A の電機子電流が流れて I a R a = 1.5 V \displaystyle I_{a} R_{a}=1.5 V I a R a = 1.5 V の電圧降下が生じ逆起電力が 12 V から 10.5 V へ下がっている以上，速度は必ず低下するため，無負荷値のままというのは誤りです。 選択肢3 2813 min⁻¹ は電圧降下を 0.75 V とする（ R a \displaystyle R_{a} R a と I a R a \displaystyle I_{a} R_{a} I a R a を取り違える，あるいは降下を半分にする）などした場合に近い中間値で，正しい逆起電力比 10.5 12 \displaystyle \frac{10.5}{12} 12 10.5 から得られる 2625 min⁻¹ にはなりません。 選択肢5 2250 min⁻¹ は電圧降下を 3 V（ R a \displaystyle R_{a} R a を 1.5 Ω と誤る，または銅損 3 W をそのまま電圧降下とみなす）と過大に見積もった値です。銅損 3 W・電流 2 A から正しく求まる降下は I a R a = 1.5 V \displaystyle I_{a} R_{a}=1.5 V I a R a = 1.5 V で， E = 10.5 V \displaystyle E=10.5 V E = 10.5 V ， n = 2625 m i n − 1 \displaystyle n=2625 min^{-1} n = 2625 mi n − 1 が正解です。 周辺知識 永久磁石界磁（PMDCモータ）は界磁巻線が不要で磁束が常に一定なので，逆起電力定数 k e \displaystyle k_{e} k e と トルク定数 k t \displaystyle k_{t} k t が一定値となり， E = k e ω \displaystyle E=k_{e} \omega E = k e ω ， T = k t I a \displaystyle T=k_{t} I_{a} T = k t I a というシンプルな比例関係が成り立ちます（SI単位では数値的に k e = k t \displaystyle k_{e}=k_{t} k e = k t ）。電圧方程式 V = E + I a R a \displaystyle V=E+I_{a} R_{a} V = E + I a R a を使うと，端子電圧一定のまま負荷を増やすと I a \displaystyle I_{a} I a が増え I a R a \displaystyle I_{a} R_{a} I a R a が増えるので E すなわち回転速度が下がる，という分巻に似た垂下特性になります。この問題のように『無負荷回転数と無負荷の逆起電力（≒端子電圧）』を基準点にして比例計算するのが定石で， n E \displaystyle \frac{n}{E} E n が一定という関係を使うと暗算に近い形で解けます。注意点として，問題文がブラシ電圧降下や電機子反作用を無視と断っているのは，それらがあると E と V の関係に余分な項が入り比例関係が崩れるためです。 銅損 P c = I a 2 R a \displaystyle \text{銅損} P_{c}=I_{a}^{2} R_{a} 銅損 P c = I a 2 R a の式から R a \displaystyle R_{a} R a を逆算できる点もよく問われ， I a R a = P c I a \displaystyle I_{a} R_{a}=\frac{P_{c}}{I_{a}} I a R a = I a P c と一段で出すと速いです。実機では模型・玩具・小型ファン・自動車補機などにPMDCが多用され，速度制御は端子電圧（PWM）で行うのが一般的です。 ← 前の問題（問1） 次の問題（問3）→ 出典と解説について 出題・正答の公表元：電気技術者試験センター。公式の試験問題・正答公表ページ
解説は資格ナビが作成した学習用の説明です。試験実施団体による公式解説ではありません。法令・制度は出題当時と現在で異なる場合があります。試験情報や訂正は公表元で確認してください。